Erzeuger von Vektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Stellen Sie im folgenden Beispiel fest, ob die angegebenen Vektoren den Vektorraum V erzeugen. Prüfen sie auch, ob die Vektoren linear unabhängig sind:
(0,1,0), (1,1,-1), (1,1,0) im [mm] \IF_{3} [/mm] - Vekrorraum V:= [mm] \IF_{3}^{3} [/mm] |
Also, wie man lineare Unabhängigkeit zeigt, weis ich....Aber wie geht das mit dem Erzeugen?? und warum gibt es den Vektor (1,1,-1) in [mm] \IF_{3}^{3} [/mm] ??? -1 ist doch kein Element von [mm] \IF_{3} [/mm] oder???
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> Stellen Sie im folgenden Beispiel fest, ob die angegebenen
> Vektoren den Vektorraum V erzeugen. Prüfen sie auch, ob die
> Vektoren linear unabhängig sind:
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> (0,1,0), (1,1,-1), (1,1,0) im [mm]\IF_{3}[/mm] - Vekrorraum V:=
> [mm]\IF_{3}^{3}[/mm]
> Also, wie man lineare Unabhängigkeit zeigt, weis
> ich....Aber wie geht das mit dem Erzeugen??
Hallo,
rechne vor, daß Du jeden Vektor [mm] \vektor{x \\ y\\z} \in \IF_{3}^{3} [/mm] durch Linearkombination dieser drei Vektoren erzeugen kannst.
> und warum gibt
> es den Vektor (1,1,-1) in [mm]\IF_{3}^{3}[/mm] ??? -1 ist doch kein
> Element von [mm]\IF_{3}[/mm] oder???
-1 ist das Inverse von 1 bzgl der Addition, also ist -1=2.
Gruß v. Angela
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Ok, danke! Aber meinst du mit "rechne vor", das ich das mit jedem einzelnen Vektor, den es in [mm] \IF_{3}^{3} [/mm] gibt zeigen muss, oder geht das auch allgemein??
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> Ok, danke! Aber meinst du mit "rechne vor", das ich das mit
> jedem einzelnen Vektor, den es in [mm]\IF_{3}^{3}[/mm] gibt zeigen
> muss,
Es wäre ja gar nicht soooooooo aufwendig, in vergleich zu anderen ist dieser VR sehr übersichtlich - aber drum reißen würde ich mich auch nicht...
> oder geht das auch allgemein??
Ja.
Seien x, y, z [mm] \in \IF_3.
[/mm]
Nun rechnest Du klammheimlich auf einem Zettelchen aus, wie a, b, c (in Abhängigkeit v. x,y,z) aussehen müssen, damit
[mm] av_1+bv_2+cv_3=\vektor{x \\ y\\ z} [/mm] ergibt.
Du mußt also das GS nach a,b,c auflösen.
Schreiben tust Du dann:
Seien [mm] x,y,z\in \IF_3
[/mm]
Es ist
[mm] (...)v_1+(...)v_2+(...)v_3= ...=\vektor{x \\ y\\ z},
[/mm]
also ist [mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] ein Erzeugendensystem des [mm] \IF_{3}^{3}.
[/mm]
(Mit den [mm] v_i [/mm] meine ich die drei Dir vorgegebenen Vektoren.)
Gruß v. Angela
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Vielen Dank! Jetzt hab ichs kapiert ... 
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