Erzeuger der Borelmengen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 So 16.09.2007 | | Autor: | antoni1 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] B(\IR) [/mm] durch F = [mm] \{(-\infty,b] : b \in \IQ\} [/mm] erzeugt wird. |
Ich weiß (ohne Beweis), dass F = [mm] \{(-\infty,b] : b \in \IR\} [/mm] ein Erzeuger von [mm] B(\IR) [/mm] ist. Ändert sich da was, wenn b [mm] \in \IQ [/mm] ist?
Gruß
Anton
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:59 Mo 17.09.2007 | | Autor: | koepper |
> Zeigen Sie, dass [mm]B(\IR)[/mm] durch F = [mm]\{(-\infty,b] : b \in \IQ\}[/mm]
> erzeugt wird.
> Ich weiß (ohne Beweis), dass F = [mm]\{(-\infty,b] : b \in \IR\}[/mm]
> ein Erzeuger von [mm]B(\IR)[/mm] ist. Ändert sich da was, wenn b [mm]\in \IQ[/mm]
> ist?
Das macht schon einen Unterschied. Du mußt für den Beweis zunächst zeigen, daß sich jedes Intervall der Form [mm](-\infty,b] : b \in \IR [/mm] als Schnitt ggf. unendlich vieler Intervalle der Form [mm] (-\infty,b] [/mm] : b [mm] \in \IQ [/mm] darstellen läßt. Dann kannst du den zitierten Satz anwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mo 17.09.2007 | | Autor: | antoni1 |
Ok, aber wie lässt sich das machen? Habe da echt keinen Ansatz im Moment.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Mo 17.09.2007 | | Autor: | antoni1 |
[mm] (-\infty, [/mm] b] = [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty} (-\infty, b+\bruch{1}{n}]
[/mm]
Kann man damit was anfangen, ansonsten fallt mir im Moment nichts mehr ein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Di 18.09.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo antoni,
jede reelle Zahl läßt sich ausdrücken als Grenzwert einer Folge von rationalen Zahlen. Das ist ein Weg, die reellen Zahlen durch "Vervollständigung" aus den rationalen Zahlen zu konstruieren. Schau mal in wikipedia unter "Cauchyfolge". Wenn du jetzt eine Folge von Intervallen konstruierst, deren obere (abgeschlossene) Intervallgrenze genau so eine rationale Folge darstellt, dann liefert der Schnitt aller Folgeglieder gerade das gewünschte oben abgeschlossene Intervall mit der reellen Zahl als Intervalobergrenze.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Di 18.09.2007 | | Autor: | antoni1 |
Oh klar, das hört sich logisch an. Hab ich dann dadurch gezeigt, dass F ein erzeuger der Borelmengen ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Di 18.09.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
ja, siehe dazu den oberen Beitrag.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Di 18.09.2007 | | Autor: | antoni1 |
Der Beweis würde also wie folgt ausschauen:
Sei [mm] b_{n} [/mm] eine Folge von rationalen Zahlen mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n} [/mm] = r [mm] \in \IR.
[/mm]
Damit ist [mm] \bigcap_{i=1}^{n} (-\infty, b_{n}] [/mm] = [mm] (-\infty, [/mm] r]. Da [mm] (-\infty, [/mm] r] ein Erzeuger von [mm] B(\IR) [/mm] ist, ist dann auch F [mm] \{(-\infty,b] : b \in \IQ\} [/mm] ein Erzeuger von [mm] B(\IR).
[/mm]
Ist der Beweis so nun vollständig? Bei [mm] b_{n} [/mm] muss es sich doch um eine Cauchy-Folge handeln, oder?
Danke für die viele Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Di 18.09.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Sei [mm]b_{n}[/mm] eine Folge von rationalen Zahlen mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}[/mm] = r [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Damit ist [mm]\bigcap_{i=1}^{n} (-\infty, b_{n}][/mm] = [mm](-\infty,[/mm]
> r].
naja, so einfach ist das nicht (die obere grenze bei dem schnittzeichen soll wohl unendlich sein und die laufvariable n, aber ich denke mal das ist nur ein copy&paste-fehler). man muss wohl noch eine weitere voraussetzung an die folge [mm] $(b_n)$ [/mm] stellen, denn [mm] $b_1 [/mm] = 0$ und [mm] $b_n [/mm] = 1$ für $n [mm] \geq [/mm] 2$ ist eine folge, die gegen $r = 1$ konvergiert, allerdings ist [mm] $\bigcap_{n = 1}^\infty (-\infty, b_n] [/mm] = [mm] (-\infty, [/mm] 0] [mm] \not= (-\infty, [/mm] 1] = [mm] (-\infty, [/mm] r]$. welche voraussetzung muss man folglich noch an die folge stellen? und warum gibt es eine solche folge stets?
> Da [mm](-\infty,[/mm] r] ein Erzeuger von [mm]B(\IR)[/mm] ist,
du meinst bestimmt das mengensystem [mm] $\{(-\infty, r] : r \in \mathbb{R}\}$ [/mm] und nicht nur ein intervall...
> ist dann
> auch F [mm]\{(-\infty,b] : b \in \IQ\}[/mm] ein Erzeuger von
> [mm]B(\IR).[/mm]
hier sollte man sich vielleicht noch überlegen, warum es genügt, jedes element aus dem erzeugersystem darstellen zu können, damit die erzeugten sigma-algebren übereinstimmen.
> Bei [mm]b_{n}[/mm] muss es sich
> doch um eine Cauchy-Folge handeln, oder?
ja, man kann leicht zeigen, dass jede konvergente folge auch eine cauchy-folge ist.
probiere doch mal die lücken zu füllen...
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Di 18.09.2007 | | Autor: | antoni1 |
Ja, danke für die Tipps. Hab aber noch ein Problem bei
> welche voraussetzung muss man folglich noch an die folge
> stellen?
Was wäre denn die Veraussetzung? 
Ich glaub, wenn ich das noch weiß, dann hab ich auch endlich den Beweis verstanden!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Di 18.09.2007 | | Autor: | andreas |
hi
warum geht das denn bei der von mit angegeben folge schief? und welche eigenschaft hat die folge im gegensatz zu etwa [mm] $b_n [/mm] = 1 + [mm] \frac{1}{n}$?
[/mm]
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Di 18.09.2007 | | Autor: | antoni1 |
> warum geht das denn bei der von mit angegeben folge schief?
Klar, die Schnittmenge der Folgenelemente ist das kleinste Element, also 0 und nicht 1.
> und welche eigenschaft hat die folge im gegensatz zu etwa
> [mm]b_n = 1 + \frac{1}{n}[/mm]?
Ok, das "letzte" Element ist das kleinste Element, so das der Schnitt der Elemente die gesuchte reelle Zahl ist. Heißt das, dass meine Folge der rationalen Zahlen monoton fallend sein muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Di 18.09.2007 | | Autor: | koepper |
korrekt.
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