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| Aufgabe | | Erzeuger einer Gruppe |
Wieviele Erzeuger hat eine Gruppe?
Nach DEF. wird die Gruppe G=<g> von einem einzelnen Element erzeugt:
Aber es kann doch auch mehrere Erzeuger geben oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Fr 09.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
die additive gruppe [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] kann sowohl von einem element erzeugt werden [mm] $\mathbb{Z} [/mm] = [mm] \left< 1 \right> [/mm] = [mm] \left< -1 \right>$ [/mm] (dies sind die einzigen ein-elementigen erzeugendensysteme dieser gruppe), sie kann aber durchaus auch von mehreren elementen erzeugt werden: [mm] $\mathbb{Z} [/mm] = [mm] \left< 1, -3 \right> [/mm] = [mm] \left< 2, 5 \right>$ [/mm] (in diesem fall ist die darstellung von einem element durch die erzeuger im allgemeinen nicht mehr eindeutig). man kann sich nun aber natürlich fragen, wie sieht es mit minimalen erzeugendensystemen aus: gibt es zu jeder gruppe ein erzeugendensystem, dass nur aus einem element besteht? dem ist nicht so: zum beispiel ist [mm] $S_3 [/mm] = [mm] \left< (1, 2), (1, 2, 3) \right>$ [/mm] oder die diedergruppe [mm] $D_n$ [/mm] wird von einer minimalen drehung und einer spiegelung erzeugt, ein element reicht aber nicht zum erzeugen der gesamten gruppe aus.
ich hoffe die verwendeten beispiele sind dir bekannt, sonst gib mal beispiele von gruppen die ihr hattet an.
grüße
andreas
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| Aufgabe | | isomorph und abelsch |
Danke für die Antwort, die Bsp hatten wir auch.
Also kann eine Gruppe wie z.B: sym(n) von mehrern Elementen erzeugt werden.
Kannst du mir den Zusammenhang von isomorph und abelsch erklären?
Bsp: Sym(4) ist aflösbar, weil ich eine Normalreihe mit abelschen Faktoren finden kann.
1 ist Normateiler von V4 ist Normalteiler von Alt(4) Normalteiler von Sym(4).
WArum sind die Quotienten abelsch?
weil sym(3)/alt(3) isomorph zu Z/2Z?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Fr 09.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Also kann eine Gruppe wie z.B: sym(n) von mehrern
> Elementen erzeugt werden.
jede gruppe kann von mehreren elementen erzeugt werden, aber die gruppen $sym(n)$ können für $n [mm] \geq [/mm] 3$ nicht von nur einem element erzeugt werden - das war der kern der aussage.
> Kannst du mir den Zusammenhang von isomorph und abelsch
> erklären?
ich sehe da keinen zusammenhang. höchstens: wenn $G [mm] \cong [/mm] H$, dann ist $G$ genau dann abelsch, wenn $H$ albelsch ist.
> Bsp: Sym(4) ist aflösbar, weil ich eine Normalreihe mit
> abelschen Faktoren finden kann.
> 1 ist Normateiler von V4 ist Normalteiler von Alt(4)
> Normalteiler von Sym(4).
> WArum sind die Quotienten abelsch?
dazu musst du die quotienten ausrechen (oder zumindest deren ordnung, das reicht hier auch schon, wenn man alle gruppen sehr kleiner ordnung kennt)
> weil sym(3)/alt(3) isomorph zu Z/2Z?
ja genau, das begründet, warum dieser quotient abelsch ist.
grüße
andreas
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Danke dir.
Kann eine Untergruppe die gleiche Ordnung wie die Gruppe haben?
Alle Sylow-p-Gruppen sind konjugiert. ich kenne die Def., aber was stelle ich mir darunter vor?
Ich lerne für eine mündliche Prüfung und mir fehlt noch die Vorstellung.
Vielleicht hast du noch einen guten Tipp.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Fr 09.05.2008 | | Autor: | MacMath |
Hi,
Bei endlichen Gruppen ist die Gruppe G die einzige gleichmächtige Untergruppe von sich selbst. Denn wenn ich mind. ein Element raus nehme, ist die Ordnung kleiner.
Im Unendlichen ist das natürlich anders. Betrachte zB [mm] \IZ [/mm] und [mm] 2\IZ
[/mm]
Konjugiert ist zB dann wichtig wenn man Abbildungen hat die auf den Konjugiertenklassen konstant sind, in dem Fall reicht es die Klassen selber abzubilden um Aussagen zu treffen, ich stelle mir darunter nicht mehr vor als eine Teilmenge mit einer (durchaus oft praktischen) Eigenschaft bzw. einer Art "Ähnlichkeit"
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danke für die antwort.
hilft mir gut weiter.
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