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Hallo ihr, mal wieder eine gaaaanz doofe Frage glaub ich;)
Ich habe folgende Vektoren:
[mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 7}, \vektor{1 \\ 0 \\ 3}, \vektor{0 \\ 4 \\ -2}, \vektor{3 \\ 8 \\ 5}
[/mm]
und soll prüfen, ob sie den [mm] \IR^3 [/mm] aufspannen...
Herausgefunden habe ich, dass die linear unabhängig sind, aber wie bekomme ich denn heraus, dass sie den [mm] \IR^3 [/mm] aufspannen...??
{Die Lösung besagt, dass sie das nicht tun}
Irgendwie stehe ich vor einem Rätsel...
Liebe Grüße
Sandra
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> Hallo ihr, mal wieder eine gaaaanz doofe Frage glaub ich;)
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> Ich habe folgende Vektoren:
> [mm]\vektor{3 \\ 4 \\ 7}, \vektor{1 \\ 0 \\ 3}, \vektor{0 \\ 4 \\ -2}, \vektor{3 \\ 8 \\ 5}[/mm]
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> und soll prüfen, ob sie den [mm]\IR^3[/mm] aufspannen...
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> Herausgefunden habe ich, dass die linear unabhängig sind,
Nein, das kannst Du nicht herausgefunden haben, den mehr als 3 Vektoren können im [mm] $\IR^3$ [/mm] nicht linear-unabhängig sein. Allgemein: mehr als $n$ Vektoren des [mm] $\IR^n$ [/mm] sind stets linear abhängig. - Weshalb? - Weil ein homogen-lineares Gleichungssystem mit weniger Gleichungen als Variablen stets unendlich viele (jedenfalls also auch eine nicht-triviale) Lösung hat. Und auf ein solches Gleichungssystem würde der Ansatz einer Nullsumme der mehr als $n$ Vektoren des [mm] $\IR^n$ [/mm] führen.
> aber wie bekomme ich denn heraus, dass sie den [mm]\IR^3[/mm]
> aufspannen...??
Du kannst z.B. vorgehen, wie beim Herstellen der Zeilenstufenform eines linearen Gleichungssystems:
Du nimmst einen der vier Vektoren, bei dem die erste Koordinate [mm] $\neq [/mm] 0$ ist und addierst ein geeignetes Vielfaches von diesem Vektor von den anderen drei. Und zwar derart, dass die resultierenden drei Vektoren die erste Koordinate $0$ haben.
Die vier "neuen" Vektoren, den ausgewählten mit erster Koordinate [mm] $\neq [/mm] 0$ und die drei "neuen" mit erster Koordinate $=0$ spannen noch immer denselben Teilraum von [mm] $\IR^3$ [/mm] auf wie die ursprünglich gegebenen vier Vektoren (weshalb?).
Dann nimmst Du von den drei Vektoren mit erster Koordinate $=0$ einen, der zweite Koordinate [mm] $\neq [/mm] 0$ hat (falls es keinen solchen Vektor gibt bist Du fertig und kannst sagen: die drei Vektoren spannen nicht ganz [mm] $\IR^3$ [/mm] auf) und subtrahierst von den anderen beiden, mit erster Koordinate $0$ ein geeignetes Vielfaches dieses Vektors derart, dass die resultierenden beiden Vektoren erste und zweite Koordinate $=0$ haben.
Falls es unter den beiden Vektoren mit erster und zweiter Koordinate $=0$ einen Vektor mit dritter Koordinate [mm] $\neq [/mm] 0$ gibt, spannen die vier gegebenen Vektoren ganz [mm] $\IR^3$ [/mm] auf, andernfalls nicht.
Hmm, das habe ich wohl nicht so leicht verständlich geschrieben. Aber vielleicht verstehst Du den Grundgedanken auch so.
Nachtrag (2. Revision): Ich hätte wohl anstelle des obigen Romans besser folgendes geschrieben: Bringe die Matrix, deren Spaltenvektoren die gegebenen vier Vektoren sind, auf Zeilenstufenform und lies daran deren Rang ab. Ist der Rang dieser Matrix (bzw. deren Zeilenstufenform) gleich 3 so spannen die vier Vektoren den [mm] $\IR^3$ [/mm] auf, andernfalls spannen sie ihn nicht auf.
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