Erzeugendensystem und Basis < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Fr 04.12.2009 | | Autor: | JanaM. |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob folgende Vektorräume { [mm] u_{1}, u_{2}, u_{3} [/mm] } ein Erzeugendensystem oder sogar eine Basis des Unterraumes U des Vektorraumes V bilden:
a) V=R², U=R², [mm] u_{1}=\vektor{1 \\ 0}, u_{2}=\vektor{1 \\ 1}, u_{3}=\vektor{1 \\ -1}
[/mm]
b) V=R³, U=R³, [mm] u_{1}=\vektor{1 \\ 2 \\ 1}, u_{2}=\vektor{3 \\ 3 \\ 2}, u_{3}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
c) V=R³, U= { [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} \in [/mm] R³: [mm] x_{3}=0 [/mm] } ; [mm] u_{1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, u_{2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, u_{3}=\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
d) V=R³, U=span( [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{-1 \\ 2 \\ 1} [/mm] ); [mm] u_{1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}, u_{2}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0}, u_{3}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] |
Bei a) bekomme ich heraus, dass es ein Erzeugendensystem ist, aber keine Basis, da diese hier nur 2 Vektoren beinhalten darf.
b) dürfte auch ein Erzeugendensystem sein, aber keine Basis, da man [mm] u_{3} [/mm] durch die anderen beiden Vektoren kombinieren kann. Ist der Schluss richtig? Oder reicht das nicht als Begründung?
c) Hier lässt sich auch wieder [mm] u_{1} [/mm] aus den anderen beiden Vektoren erstellen... daher sind die drei Vektoren keine Basis. Weiterhin spricht auch gegen eine Basis, dass wir eine Dimension 2 haben, da [mm] x_{3}=0. [/mm] (eine Basis bestünde hier also aus 2 Vektoren).
Linear abhängig sind die drei Vektoren, da man aus Vielfachen dieser den Nullvektor bilden kann.
Daher: ist Erzeugendensystem, aber keine Basis.
d) hier hänge ich mich an der linearen Hülle auf... muss ich zeigen, dass die Elemente der linearen Hülle durch [mm] u_{1}, u_{2}, u_{3} [/mm] darstellbar sind, um zu zeigen, dass es ein Erzeugendensystem ist... und dann noch nachschauen, dass man ein u nicht durch die anderen darstellen kann (was ja nicht möglich ist), um zu zeigen, dass es sich hierbei um eine Basis handelt?
Danke schon mal für die Hilfe :)
LG. Jana
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo JanaM.,
> Untersuchen Sie, ob folgende Vektorräume { [mm]u_{1}, u_{2}, u_{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } ein Erzeugendensystem oder sogar eine Basis des
> Unterraumes U des Vektorraumes V bilden:
>
> a) V=R², U=R², [mm]u_{1}=\vektor{1 \\ 0}, u_{2}=\vektor{1 \\ 1}, u_{3}=\vektor{1 \\ -1}[/mm]
>
> b) V=R³, U=R³, [mm]u_{1}=\vektor{1 \\ 2 \\ 1}, u_{2}=\vektor{3 \\ 3 \\ 2}, u_{3}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> c) V=R³, U= { [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} \in[/mm] R³:
> [mm]x_{3}=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ; [mm]u_{1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, u_{2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, u_{3}=\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> d) V=R³, U=span( [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{-1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> ); [mm]u_{1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}, u_{2}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0}, u_{3}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> Bei a) bekomme ich heraus, dass es ein Erzeugendensystem
> ist, aber keine Basis, da diese hier nur 2 Vektoren
> beinhalten darf.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) dürfte auch ein Erzeugendensystem sein, aber keine
> Basis, da man [mm]u_{3}[/mm] durch die anderen beiden Vektoren
> kombinieren kann. Ist der Schluss richtig? Oder reicht das
> nicht als Begründung?
Ich interpretiere die Aufgabenstellung so, daß gefragt ist,
ob [mm]\left\{u_{1},u_{2},u_{3}\right\}[/mm] ein Erzeugendensystem
von U oder sogar eine Basis von U ist.
>
> c) Hier lässt sich auch wieder [mm]u_{1}[/mm] aus den anderen
> beiden Vektoren erstellen... daher sind die drei Vektoren
> keine Basis. Weiterhin spricht auch gegen eine Basis, dass
> wir eine Dimension 2 haben, da [mm]x_{3}=0.[/mm] (eine Basis
> bestünde hier also aus 2 Vektoren).
> Linear abhängig sind die drei Vektoren, da man aus
> Vielfachen dieser den Nullvektor bilden kann.
> Daher: ist Erzeugendensystem, aber keine Basis.
>
> d) hier hänge ich mich an der linearen Hülle auf... muss
> ich zeigen, dass die Elemente der linearen Hülle durch
> [mm]u_{1}, u_{2}, u_{3}[/mm] darstellbar sind, um zu zeigen, dass es
> ein Erzeugendensystem ist... und dann noch nachschauen,
> dass man ein u nicht durch die anderen darstellen kann (was
> ja nicht möglich ist), um zu zeigen, dass es sich hierbei
> um eine Basis handelt?
Hier mußt Du zeigen, ob die Vektoren [mm]u_{i}[/mm]
durch den Unterraum erzeugt werden.
Falls das für alle Vektoren [mm]u_{i}, \ i=1,2,3[/mm] gilt,
dann ist zu prüfen, ob diese Vektoren eine Basis von U sind.
> Danke schon mal für die Hilfe :)
>
> LG. Jana
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Sa 05.12.2009 | | Autor: | JanaM. |
zu (b): Hier habe ich herausgefunden, dass es sich um ein Erzeugendensystem handelt (da man den Nullvektor durch die drei Vektoren darstellen kann),eine Basis könnte es auch sein, wenn man sich nach den Dimensionen richtet, dies wären im R³ ja 3... nur spricht hier dagegen: [mm] u_{3}=-2u_{1}+u_{2} [/mm] und laut der Definition für eine Basis, darf das ja nicht sein, da sie maximal linear unabhängig sein soll... also komme ich zu dem Schluss, dass es sich um ein Erzeugendensystem handelt aber nicht um eine Basis.
Ist das so richtig oder sollte ich mich nicht daran aufhängen, dass [mm] u_{3} [/mm] durch die anderen beiden Vektoren dargestellt werden kann - denn für Basis gilt ja auch, dass sie ein minimales Erzeugeendensystem sein soll.
zu (d): Die gegebenen Ratschläge habe ich versucht zu befolgen. Ich bekomme heraus, dass [mm] u_{1}, u_{2}, u_{3} [/mm] linear unabhängig sind und so eine Basis des R³ bilden. [mm] (\Rightarrow dim(span\{u_1,u_2,u_3\})=dim(\mathbb{R}^3)=3 [/mm] )
Auch lassen sich [mm] u_{1} [/mm] und [mm] u_{2} [/mm] durch die Vektoren, die in der linearen Hülle gegeben sind, darstellen. Nur mit [mm] u_{3} [/mm] funktioniert das nicht - also wäre dieser nicht durch den Unterraum darstellbar...
(eine Verständnisfrage: in einer Antwort auf meine Frage stand, dass ich noch nachweisen soll, dass dimU=2. Ist dies schon gegeben dadurch, dass die Vektoren der linearen Hülle an unterster Stelle immer eine 1 haben? - Denn sonst hätte der Unterraum doch auch dimU=3?)
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> zu (b): Hier habe ich herausgefunden, dass es sich um ein
> Erzeugendensystem handelt (da man den Nullvektor durch die
> drei Vektoren darstellen kann),
Hallo,
wo hast Du denn diese Definition von "Erzeugendensystem" aufgeschnappt?
Um zu zeigen, daß eine Menge von Vektoren aus U ein Erzeugendensystem von U ist, muß man vorrechnen, daß man jeden beliebigen Vektor aus U als Linearkombination dieser Vektoren schreiben kann.
Du mußt also vorrechnen, daß Du für jeden Vektor [mm] \vektor{a\\b\\c}\in \IR^3 [/mm] Koeffizienten [mm] \lambda_i [/mm] findest mit [mm] \vektor{a\\b\\c}=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3
[/mm]
Wenn Du allerdings etwas mehr weißt, kannst Du Dir diese Rechnung sparen:
> eine Basis könnte es auch
> sein, wenn man sich nach den Dimensionen richtet, dies
> wären im R³ ja 3... nur spricht hier dagegen:
> [mm]u_{3}=-2u_{1}+u_{2}[/mm] und laut der Definition für eine
> Basis, darf das ja nicht sein, da sie maximal linear
> unabhängig sein soll...
Du hast festgestellt, daß die drei Vektoren linear abhängig sind, also keine Basis des dreidimensionalen Raumes [mm] \IR^3.
[/mm]
Nun enthält aber jedes Erzeugendensystem einen Basis - was bei Deinen drei Vektoren also nicht gegeben ist ==> kein Erzeugendensystem.
d) V=R³, U=span( $ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{-1 \\ 2 \\ 1} [/mm] $ ); $ [mm] u_{1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}, u_{2}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0}, u_{3}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] $
>
> zu (d): Die gegebenen Ratschläge habe ich versucht zu
> befolgen. Ich bekomme heraus, dass [mm]u_{1}, u_{2}, u_{3}[/mm]
> linear unabhängig sind und so eine Basis des R³ bilden.
Ja.
> [mm](\Rightarrow dim(span\{u_1,u_2,u_3\})=dim(\mathbb{R}^3)=3[/mm]
> )
> Auch lassen sich [mm]u_{1}[/mm] und [mm]u_{2}[/mm] durch die Vektoren, die
> in der linearen Hülle gegeben sind, darstellen. Nur mit
> [mm]u_{3}[/mm] funktioniert das nicht - also wäre dieser nicht
> durch den Unterraum darstellbar...
Du hast herausgefunden, daß [mm] u_3 [/mm] kein Element von U ist. also kann [mm] \{u_1, u_2, u_3\} [/mm] kein Erzeugendensystem von U sein.
> (eine Verständnisfrage: in einer Antwort auf meine Frage
> stand, dass ich noch nachweisen soll, dass dimU=2.
Um eine Antwort auf die Aufgabenstellung zu geben, ist das nicht mehr nötig. Dazu reicht, daß Du herausgefunden hast, daß [mm] u_3 [/mm] nicht in U liegt. Du bist fertig.
> Ist dies
> schon gegeben dadurch, dass die Vektoren der linearen
> Hülle an unterster Stelle immer eine 1 haben? - Denn sonst
> hätte der Unterraum doch auch dimU=3?)
Es stimmt natürlich, daß man mit den entsprechenden Kenntnissen hier sofort sieht, daß dim [mm] U\not=3.
[/mm]
(Du solltest die lineare Abhängigkeit aber trotzdem vorrechnen können.)
Es stimmt aber nicht, daß die Dimension automatisch =3 ist, sobald alle Komponenten verscheiden sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 So 06.12.2009 | | Autor: | JanaM. |
Ah... ja, meine Definition von "Erzeugendensystem" scheint wirklich recht falsch gewesen zu sein...
Wenn ich jetzt also dafür zeigen muss, dass alle Vektoren aus V durch die gegebenen Vektoren darstellbar sein müssen, die das Erzeugendensystem bilden sollten, kann ich doch eigentlich auch zeigen, dass ich dadurch die Einheitsvektoren erhalten kann... wenn dies klappt, dann hieße das ja auch gleich, dass die Vektoren ein Ereugendensystem sind, denn durch Einheitsvektoren kann man ja jeden Vektor in V darstellen...
Wäre dies vielleicht eine Möglichkeit?
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> Wenn ich jetzt also dafür zeigen muss, dass alle Vektoren
> aus V durch die gegebenen Vektoren darstellbar sein
> müssen, die das Erzeugendensystem bilden sollten, kann ich
> doch eigentlich auch zeigen, dass ich dadurch die
> Einheitsvektoren erhalten kann... wenn dies klappt, dann
> hieße das ja auch gleich, dass die Vektoren ein
> Ereugendensystem sind, denn durch Einheitsvektoren kann man
> ja jeden Vektor in V darstellen...
>
> Wäre dies vielleicht eine Möglichkeit?
Hallo,
ja, das kannst Du so machen.
Gruß v. Angela
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Ich habe die Aufgaben (a)-(c) nicht durchgerechnet, aber wenn das so
ist wie du schreibst reicht die Argumentation aus.
Um sicherzugehen würde ich allerdings etwas kongreter werden.
Z.B. (kommt natürlich auf deine Vorkenntnisse an):
a) [mm] \{\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}\} [/mm] ist Basis von [mm] \mathbb{R}^2 \Rightarrow dim(\mathbb{R}^2)=2\Rightarrow \{u_1,u_2,u_3\} [/mm] kann keine Basis von [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] sein,
da eine Basis eine maximale linear unabhängige Menge ist.
Für die Aufgabe d) habe ich folgenden Vorschlag:
1) Z.z: [mm] \{u_1,u_2,u_3\} [/mm] ist eine Basis von [mm] \mathbb{R}^3 [/mm] (das ist auch der Fall) .
[mm] \Rightarrow dim(span\{u_1,u_2,u_3\})=dim(\mathbb{R}^3)=3
[/mm]
2) Z.z: [mm] \dim(U)=2 [/mm]
Damit ist dann U eine echte Teilmenge von [mm] span\{u_1,u_2,u_3\}=\mathbb{R}^3, [/mm] also [mm] \{u_1,u_2,u_3\} [/mm] kein Erzeugendensystem von U.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 Fr 04.12.2009 | | Autor: | JanaM. |
Großes Danke für die schnelle und ausführliche Hilfe bei meinen Fragen :)
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