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| Aufgabe | Gegeben sei die Pyramide [mm] S=\{(x,y\) \in \IR^{2} : x\ge0 , x-y\ge0\}
[/mm]
Bestimmen sie ein endlich positives Erzeugendensystem von S. |
In der Vorlesung wurde es wie folgt definiert:
Eine Pyramide ist ein konvexer Kegel , der ein endliches Erzeugendensystem besitzt.
Und S lässt sich wie folgt darstellen: [mm] S=\bigcap_{i=1}^{n}\{f_{i}\ge0\}
[/mm]
wobei [mm] f_{i} [/mm] Linearformen sind.
Jetzt ist natürlich die Frage , wie man ein Ereugendensystem bestimmt.
Meine Idee wäre es , sich einfach 2 linear unabhängige Vektoren zu schnappen , die den Restriktionen des Kegels genügen. Leider habe ich keine Hinweise in den Unterlagen und im Internet/Büchern gefunden , wie es sonst funktioniert bzw wie man es formal schön aufschreibt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:32 Fr 18.02.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Gegeben sei die Pyramide [mm]S=\{(x,y\) \in \IR^{2} : x\ge0 , x-y\ge0\}[/mm]
>
> Bestimmen sie ein endlich positives Erzeugendensystem von
> S.
>
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> In der Vorlesung wurde es wie folgt definiert:
> Eine Pyramide ist ein konvexer Kegel , der ein endliches
> Erzeugendensystem besitzt.
>
> Und S lässt sich wie folgt darstellen:
> [mm]S=\bigcap_{i=1}^{n}\{f_{i}\ge0\}[/mm]
> wobei [mm]f_{i}[/mm] Linearformen sind.
> Jetzt ist natürlich die Frage , wie man ein
> Ereugendensystem bestimmt.
> Meine Idee wäre es , sich einfach 2 linear unabhängige
> Vektoren zu schnappen , die den Restriktionen des Kegels
> genügen. Leider habe ich keine Hinweise in den Unterlagen
> und im Internet/Büchern gefunden , wie es sonst
> funktioniert bzw wie man es formal schön aufschreibt.
>
So wie die Pyramide S in der Aufgabe definiert ist, stehen die beiden
Linearformen [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $f_2$ [/mm] schon fast da.
Sei [mm] $f_1(x,y) [/mm] = x$ und [mm] $f_2(x,y) [/mm] = x-y$.
Vielleicht noch überlegen, ob [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $f_2$ [/mm] wirklich Linearformen sind,
und wie das mit dem Durchschnitt ist.
Gruß
meili
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Eben das ist es. Eigentlich ist doch an dieser Aufgabe gar nichts zu tun , das finde ich halt so komisch.
Wie sehe denn eine deiner Meinung nach vollständige Lösung aus?
Danke vorab
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mi 23.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 So 20.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Gegeben sei die Pyramide [mm]S=\{(x,y) \in \IR^{2} : x\ge0 , x-y\ge0\}[/mm]
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> Bestimmen sie ein endlich positives Erzeugendensystem von
> S.
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>
> In der Vorlesung wurde es wie folgt definiert:
> Eine Pyramide ist ein konvexer Kegel , der ein endliches
> Erzeugendensystem besitzt.
>
> Und S lässt sich wie folgt darstellen:
> [mm]S=\bigcap_{i=1}^{n}\{f_{i}\ge0\}[/mm]
> wobei [mm]f_{i}[/mm] Linearformen sind.
> Jetzt ist natürlich die Frage , wie man ein
> Ereugendensystem bestimmt.
> Meine Idee wäre es , sich einfach 2 linear unabhängige
> Vektoren zu schnappen , die den Restriktionen des Kegels
> genügen. Leider habe ich keine Hinweise in den Unterlagen
> und im Internet/Büchern gefunden , wie es sonst
> funktioniert bzw wie man es formal schön aufschreibt.
Hallo,
die Begriffe "Pyramide" und "Kegel" in diesem Zusammen-
hang sind natürlich gewöhnungsbedürftig. Bei S handelt es
sich ja um ein ebenes Gebiet, welches sich als Schnittmenge
zweier Halbebenen ergibt. Anders gesagt: es ist ein ins
Unendliche reichender "Sektor" mit zwei vom Ursprung O(0/0)
ausgehenden Randstrahlen. Nimmt man für jeden dieser
Randstrahlen einen Richtungsvektor [mm] (\vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b})
[/mm]
und bildet daraus Linearkombinationen der Form
[mm] $\vec{v}\ [/mm] =\ [mm] x*\vec{a}+y*\vec{b}$
[/mm]
mit [mm] x\ge0 [/mm] und [mm] y\ge0 [/mm] , so erzeugen alle auf diese Weise darstellbaren
Vektoren genau das Gebiet S .
Das ist offenbar mit dem Begriff "Erzeugendensystem" in
diesem Zusammenhang gemeint. Dieses wäre dann eben
$E\ = [mm] \{\vec{a} , \vec{b}\}$
[/mm]
Es bleibt also die Aufgabe, zwei geeignete Vektoren [mm] \vec{a}
[/mm]
und [mm] \vec{b} [/mm] für die vorliegende "2D-Pyramide" zu bestimmen.
LG Al-Chwarizmi
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