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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Mi 09.04.2008 | | Autor: | kaoh |
| Aufgabe | [mm] V:=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)^T|x_1,x_2,x_3,x_4 \in \IR, x_1+x_2+x_3+x_4 = 0\}
[/mm]
a) Geben Sie ein endliches Erzeugendensystem von V an und begründen Sie,
warum es sich tatsächlich um ein Erzeugendensystem handelt.
b) Geben Sie eine Basis von V an und begründen Sie, warum es sich tatsächlich
um eine Basis handelt.
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könnte mir da vllt jemand helfen? meine ansätze
a) ich hab 4 vektoren aufgestellt, die die eigenschaft [mm] x_1+x_2+x_3+x_4 [/mm] = 0 erfüllen:
[mm] \vektor{3 \\ -1\\-1\\-1} \vektor{ -1\\3 \\-1 \\-1} \vektor{ -1\\-1 \\3 \\-1} \vektor{-1 \\ -1\\ -1\\3}
[/mm]
jetzt müsste ich beweisen, dass die 4 vektoren ein endliches erzeugendensystem von V bilden. nur wie geht das?
b) wenn diese 4 vektoren ein erzeugendensystem von V bilden, würde ich diese auch als basis nehmen, nach dem ich bewiesen habe, dass sie lin. unabhängig sind.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]V:=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)^T|x_1,x_2,x_3,x_4 \in \IR, x_1+x_2+x_3+x_4 = 0\}[/mm]
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> a) Geben Sie ein endliches Erzeugendensystem von V an und
> begründen Sie,
> warum es sich tatsächlich um ein Erzeugendensystem
> handelt.
> b) Geben Sie eine Basis von V an und begründen Sie, warum
> es sich tatsächlich
> um eine Basis handelt.
>
> könnte mir da vllt jemand helfen? meine ansätze
>
> a) ich hab 4 vektoren aufgestellt, die die eigenschaft
> [mm]x_1+x_2+x_3+x_4[/mm] = 0 erfüllen:
>
> [mm]\vektor{3 \\ -1\\-1\\-1} \vektor{ -1\\3 \\-1 \\-1} \vektor{ -1\\-1 \\3 \\-1} \vektor{-1 \\ -1\\ -1\\3}[/mm]
>
> jetzt müsste ich beweisen, dass die 4 vektoren ein
> endliches erzeugendensystem von V bilden. nur wie geht
> das?
naja, das sind alles Vektoren von $V$ und $V$ ist in ziemlich offensichtlicher Weise ein Unterraum des [mm] $\IR^4$, [/mm] wenn man diesen mit gewöhnlicher Addition und Skalarmultiplikation versieht. Daher kann eine Linearkombination Deiner vier Vektoren jedenfalls nur ein Element von $V$ ergeben. Was noch nicht ganz klar ist:
Du musst noch zeigen:
Ist [mm] $y:=\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4} \in [/mm] V$ (also [mm] $y_1+y_2+y_3+y_4=0$ [/mm] bzw. [mm] $(\*)$ $y_1=-y_2-y_3-y_4$), [/mm] so kann man $y$ als Linearkombination Deiner 4 Vektoren schreiben, d.h. Du musst dann zeigen:
Es gibt [mm] $\lambda_{1,2,3,4} \in \IR$ [/mm] so, dass
[mm] $\lambda_1*\vektor{3 \\ -1\\-1\\-1}+\lambda_2*\vektor{-1 \\ 3\\-1\\-1}+\lambda_3*\vektor{-1 \\ -1\\3\\-1}+\lambda_4*\vektor{-1 \\ -1\\-1\\3}=\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4}$
[/mm]
Rechterhand muss ja noch $y [mm] \in [/mm] V$ irgendwo eingehen, dass kann man mittels [mm] $(\*)$ [/mm] dann z.B. so machen
[mm] $\lambda_1*\vektor{3 \\ -1\\-1\\-1}+\lambda_2*\vektor{-1 \\ 3\\-1\\-1}+\lambda_3*\vektor{-1 \\ -1\\3\\-1}+\lambda_4*\vektor{-1 \\ -1\\-1\\3}=\vektor{-y_2-y_3-y_4\\y_2\\y_3\\y_4}$
[/mm]
Das wird Dir sicherlich gelingen, aber ich werde Dir jetzt schon sagen können, dass das Erzeugendensystem Deinerseits "verkleinert" werden kann.
> b) wenn diese 4 vektoren ein erzeugendensystem von V
> bilden, würde ich diese auch als basis nehmen, nach dem ich
> bewiesen habe, dass sie lin. unabhängig sind.
Ich glaube nicht, dass diese 4 Vektoren linear unabhängig sind, da
[mm] $\vektor{3 \\ -1\\-1\\-1}+\vektor{-1 \\ 3\\-1\\-1}+\vektor{-1 \\ -1\\3\\-1}+\vektor{-1 \\ -1\\-1\\3}=\vektor{0\\0\\0\\0}$
[/mm]
Ich meine, wenn Du ein Erzeugendensystem hast, so kann das in einem gewissen Sinne "zu groß" sein. So bilden z.B. die Vektoren [mm] $\vektor{1\\0},\vektor{1\\1},\vektor{0\\1},\vektor{2\\1}$ [/mm] durchaus ein Erzeugendensystem des [mm] $\IR^2$, [/mm] diese Vektoren sind aber (aus einem gewissen Grund über die "Größe" einer Basis des [mm] $\IR^2$) [/mm] sicherlich nicht linear unabhängig. Ich kann aber irgendzwei davon auswählen, und schon habe ich eine Basis des [mm] $\IR^2$ [/mm] (dabei benütze ich natürlich mein Wissen, dass der [mm] $\IR^2$ [/mm] die Dimension $2$ hat, weil ich die kanonische Basis kenne  ).
Oben hast Du nun $4$ Vektoren, die $V$ erzeugen. Leider sind sie als Basis von $V$ ungeeignet (hier ist eine Basis entweder ein minimales Erzeugendensystem oder eine maximale Anzahl von linear unabhängigen Vektoren aus $V$, da $V$ als Teilraum von [mm] $\IR^4$ [/mm] jedenfalls eine Dimension [mm] $\le [/mm] 4$ haben wird, also insbesondere eine endliche Dimension hat).
Schmeiß' mal z.B. den letzten raus, und dann gucke, ob die drei Vektoren [mm] $\vektor{3 \\ -1\\-1\\-1}$, $\vektor{-1 \\ 3\\-1\\-1}$, $\vektor{-1 \\ -1\\3\\-1}$ [/mm] linear unabhängig sind, indem Du prüfst, ob aus
[mm] $\lambda_1*\vektor{3 \\ -1\\-1\\-1}+\lambda_2*\vektor{-1 \\ 3\\-1\\-1}+\lambda_3*\vektor{-1 \\ -1\\3\\-1}=\vektor{0\\0\\0\\0}$ [/mm] dann folgt, dass [mm] $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$ [/mm] gelten muss.
Sind sie es, so kannst Du dann diese drei als Basis von $V$ nehmen. Sind sie es nicht, so schmeißt Du wieder einen dieser Vektoren raus und prüfst, ob die verbleibenden zwei linear unabhängig sind usw.
Gruß,
Marcel
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