Erzeugendensystem < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Di 11.12.2007 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | Erzeugen [mm] p_{1}, p_{2},p_{3},p_{4} [/mm] den Raum [mm] P_{2}?
[/mm]
[mm] p_{1}=1-x+2x^{2}
[/mm]
[mm] p_{2}=3+x
[/mm]
[mm] p_{3}=5-x+4x^{2}
[/mm]
[mm] p_{4}=-2-2x+2x^{2} [/mm] |
ich meinte zunächst, die einzelnen vektoren auf lineare abhängig prüfen zu müssen (und erhielt dabei eine lineare abhängigkeit- folgerte, dass die vektoren nicht den raum [mm] P_{2} [/mm] erzeugen)
jedoch viel mir dann ein, dass dies ja der beweis für eine basis ist- für ein erzeugendensystem müssen sich alle vektoren aus [mm] P_{2} [/mm] als linearkombination von den vektoren [mm] p_{1}, p_{2},p_{3},p_{4} [/mm] darstellen lassen. doch wie genau kann ich prüfen, ob es eine solche linearkombination gibt oder nicht?
bis jetzt hab ich außerdem immer nur beispiele gefunden, in denen das erzeugendensystem gleichzeitig ein basis des vektorraums ist- so ist mir der unterschied noch nicht ganz klar!
vielen dank für eure hilfe!
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> Erzeugen [mm]p_{1}, p_{2},p_{3},p_{4}[/mm] den Raum [mm]P_{2}?[/mm]
> [mm]p_{1}=1-x+2x^{2}[/mm]
> [mm]p_{2}=3+x[/mm]
> [mm]p_{3}=5-x+4x^{2}[/mm]
> [mm]p_{4}=-2-2x+2x^{2}[/mm]
> ich meinte zunächst, die einzelnen vektoren auf lineare
> abhängig prüfen zu müssen (und erhielt dabei eine lineare
> abhängigkeit
Hallo,
das war ja immerhin richtig. Du hättest dafür allerdings nicht rechnen müssen, denn da die Dimension des betrachteten Raumes [mm] P_2 [/mm] gleich 3 ist, müssen mehr als drei Vektoren immer linear abhängig sein.
> - folgerte, dass die vektoren nicht den raum
> [mm]P_{2}[/mm] erzeugen)
> jedoch viel mir dann ein, dass dies ja der beweis für eine
> basis ist
Mach Dir gründlich klar, daß diese Folgerung nicht stimmt:
eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem, was überhaupt nicht ausschließt, daß es zusätzlich sehr große Erzeugendensysteme gibt.
- für ein erzeugendensystem müssen sich alle
> vektoren aus [mm]P_{2}[/mm] als linearkombination von den vektoren
> [mm]p_{1}, p_{2},p_{3},p_{4}[/mm] darstellen lassen. doch wie genau
> kann ich prüfen, ob es eine solche linearkombination gibt
> oder nicht?
Es gibt mehrere Möglichkeiten.
1. Ein beliebiges Polynom aus [mm] P_2 [/mm] hat die Gestalt [mm] p(x)=a_2x^2+a_1x^2+a_0,
[/mm]
und Du kannst nachrechnen, ob es Dir für beliebige [mm] a_i [/mm] gelingt passende [mm] k_i [/mm] zu finden derart, daß
[mm] \summe_{i=1}^{4}k_ip_i=a_2x^2+a_1x^2+a_0
[/mm]
Das Ganze läuft auf eine Koeffizientenvergleich und anschließende Lösung eines linearen Gleichungssystems mit den Variablen [mm] k_i [/mm] hinaus.
2. Du weißt ja, daß [mm] (1,x,x^2) [/mm] eine Basis v. [mm] P_2 [/mm] ist, und Du schaust nach, ob Du jeden dieser Basisvektoren als Linearkombination der [mm] p_i [/mm] darstellen kannst.
3. Du weißt ja, daß [mm] (1,x,x^2) [/mm] eine Basis v. [mm] P_2 [/mm] ist, und Du stellst die [mm] p_i [/mm] als Koordinatenvektoren bzgl. dieser Basis dar, steckst sie als Spalten in eine Matrix und ermittelst ihren Rang. Ist der Rang =3, so spannen sie den [mm] P_2 [/mm] auf.
> bis jetzt hab ich außerdem immer nur beispiele gefunden,
> in denen das erzeugendensystem gleichzeitig ein basis des
> vektorraums ist- so ist mir der unterschied noch nicht ganz
> klar!
Eine Basis ist ein Erzeugendensystem, welches mit der minimalen Anzahl v. Vektoren auskommt.
Erzeugendensysteme dürfen "überflüssige" Vektoren enthalten, Basen nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Mi 12.12.2007 | | Autor: | jura |
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> Es gibt mehrere Möglichkeiten.
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> 1. Ein beliebiges Polynom aus [mm]P_2[/mm] hat die Gestalt
> [mm]p(x)=a_2x^2+a_1x^2+a_0,[/mm]
müsste es nicht eigentlich [mm]p(x)=a_2x^2+a_1x+a_0,[/mm] heißen???
>
> 2. Du weißt ja, daß [mm](1,x,x^2)[/mm] eine Basis v. [mm]P_2[/mm] ist, und Du
> schaust nach, ob Du jeden dieser Basisvektoren als
> Linearkombination der [mm]p_i[/mm] darstellen kannst.
tut mir leid, aber ich weiß leider auch nicht, wie ich eine lk der basisvektoren bilden soll?!
> 3. Du weißt ja, daß [mm](1,x,x^2)[/mm] eine Basis v. [mm]P_2[/mm] ist, und Du
> stellst die [mm]p_i[/mm] als Koordinatenvektoren bzgl. dieser Basis
> dar-
wie genau mache ich das, was steht dann da?
> steckst sie als Spalten in eine Matrix und ermittelst
> ihren Rang.-
und wie ermittle ich den rang? ist das die maximale anzahl der linear unabhängigen vektoren?
> Ist der Rang =3, so spannen sie den [mm]P_2[/mm] auf.
>
ansonsten waren deine erklärungen mal wieder sehr gut, danke! ich hoffe, du kannst mir nun bei dem rest noch weiterhelfen....
gruß zurück von jura
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> >
> > Es gibt mehrere Möglichkeiten.
> >
> > 1. Ein beliebiges Polynom aus [mm]P_2[/mm] hat die Gestalt
> > [mm]p(x)=a_2x^2+a_1x^2+a_0,[/mm]
>
> müsste es nicht eigentlich [mm]p(x)=a_2x^2+a_1x+a_0,[/mm] heißen???
Ja, natürlich.
>
> >
> > 2. Du weißt ja, daß [mm](1,x,x^2)[/mm] eine Basis v. [mm]P_2[/mm] ist, und Du
> > schaust nach, ob Du jeden dieser Basisvektoren als
> > Linearkombination der [mm]p_i[/mm] darstellen kannst.
> tut mir leid, aber ich weiß leider auch nicht, wie ich
> eine lk der basisvektoren bilden soll?!
Nein, Du hast nicht richtig gelesen:
Du sollst ausrechnen, ob Du jeden Basisvektor als linearkombination der [mm] p_i [/mm] schreiben kannst,
[mm] 1=\summe a_ip_i,
[/mm]
[mm] x=\summe b_ip_i
[/mm]
[mm] x^2=\summe c_ip_i.
[/mm]
> > 3. Du weißt ja, daß [mm](1,x,x^2)[/mm] eine Basis v. [mm]P_2[/mm] ist, und
> Du
> > stellst die [mm]p_i[/mm] als Koordinatenvektoren bzgl. dieser Basis
> > dar-
> wie genau mache ich das, was steht dann da?
Für [mm] p_1 [/mm] steht da (1,-1,2)
> > steckst sie als Spalten in eine Matrix und ermittelst
> > ihren Rang.-
> und wie ermittle ich den rang? ist das die maximale anzahl
> der linear unabhängigen vektoren?
Ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Mi 12.12.2007 | | Autor: | jura |
sorry, aber irgendwie hängts noch immer: genau diese koordinatenvektoren habe ich ja schon lange auf meinem blatt stehen- nur bleibt mein problem, dass ich nicht weiß, ob sich daraus dann nun eine lk bilden lässt oder nicht. und wieso darf ich mich nun eigentlich nur an der basis orientieren anstatt an dem [mm] P_{2}? [/mm] ist jedes erzeugendensystem denn in der basis enthalten- eher umgedreht oder??
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> sorry, aber irgendwie hängts noch immer: genau diese
> koordinatenvektoren habe ich ja schon lange auf meinem
> blatt stehen- nur bleibt mein problem, dass ich nicht weiß,
> ob sich daraus dann nun eine lk bilden lässt oder nicht.
Hallo,
ich dachte, ich hätte das längst gesagt: am einfachsten ist es, wenn Du den Rang der Matrix bestimmst, die diese Koordinatenvektoren als Spalten enthält.
Ist er =3 hat der von den 4 Vektoren aufgespannte Raum die Dimension drei, ist also der [mm] P_2.
[/mm]
> und wieso darf ich mich nun eigentlich nur an der basis
> orientieren anstatt an dem [mm]P_{2}?
Ich weiß nicht, was Du hiermit meinst und auf welche der vorgeschlagenen Vorgehensweises Du Dich beziehst.
> [/mm] ist jedes
> erzeugendensystem denn in der basis enthalten
Natürlich nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:11 Do 13.12.2007 | | Autor: | jura |
naja, ehrlich gesagt haben wir den rang noch nicht behandelt und ich wusste nicht wirklich, wie ich den überhaupt bestimmen kann- ich habs nun so versucht: mit den 4 vektoren erhält man die matrix
[mm] \pmat{1&3&5&-2\\-1&1&-1&-2\\2&0&4&2}
[/mm]
das ergibt durch zeilenumformungen dann
[mm] \pmat{1&3&5&-2\\0&1&1&0\\0&0&0&6}
[/mm]
und daraus kann ich schließen, dass der rang r=3 ist, stimmt das?
demnach müssten ja dann die [mm] p_{i} [/mm] den raum [mm] P_{2} [/mm] erzeugen- jedoch steht in dem lösungsbuch, dass dies nicht der fall ist.
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mit den
> 4 vektoren erhält man die matrix
> [mm]\pmat{1&3&5&-2\\-1&1&-1&-2\\2&0&4&2}[/mm]
> das ergibt durch zeilenumformungen dann
> [mm]\pmat{1&3&5&-2\\0&1&1&0\\0&0&0&6}[/mm]
> und daraus kann ich schließen, dass der rang r=3 ist,
> stimmt das?
Hallo,
das könntest Du aus dieser Matrix wirklich schließen - allerdings hast Du Dich verrechnet, ich denke, daß Du einen Vorzeichenfehler gemacht hast.
Wenn man richtig rechnet, wird die letzte zeile zu einer Nullzeile.
> demnach müssten ja dann die [mm]p_{i}[/mm] den raum [mm]P_{2}[/mm] erzeugen-
> jedoch steht in dem lösungsbuch, dass dies nicht der fall
> ist.
Du müßtest das Ergebnis mit den anderen Methoden ja auch überprüfen können. Wenn Ihr den Rang nicht hattet, muß ja eine davon "Eure" sein.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:30 Fr 14.12.2007 | | Autor: | jura |
ja klar, hab den vz-fehler gefunden, also ist r=2 und damit liegt kein erzeugendensystem vor- na endlich hab ichs 
aber nein, leider ist keine methode "unsere", denn in der vorlesung ist lediglich am rande mal das wort erzeugendensystem und lineare hülle gefallen, das wars- keine bsp oder rechenmethoden....ich habe mich nur weiter dafür interessiert und deshalb in büchern geschaut und zu hause selbst etwas gerechnet...
also nochmal besten dank!
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