Erzeugendensystem < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Mi 09.05.2007 | | Autor: | solero |
| Aufgabe | Es seien x,y [mm] \in \IR^2 [/mm] zwei Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden durch den Ursprung liegen (d.h. x [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \not= [/mm] y und [mm] \alpha [/mm] x [mm] \not= \beta [/mm] y für alle [mm] \alpha, \beta \not= [/mm] 0).
a.) Zeigen Sie, dass dann {x, y} bereits ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^2 [/mm] bildet.
b.) Gilt diese Aussage auch, wenn [mm] \IR [/mm] durch einen beliebigen Körper IK ersetzt wird? |
hallo!!
also bei der b.) weiss ich gar nicht mal, wie ich da vorgehen sollen!! *grrr*
und bei der a.): reicht es wenn man als begründung nennt, dass x und y eine ebene im [mm] \IR^2 [/mm] aufspannen??? was ich hierbei nicht verstehe ist, dass die bedingung gilt, dass [mm] \alphax \not= \betay [/mm] für alle [mm] \alpha, \beta \not= [/mm] 0)... also wäre die linearabhängigkeit von x und y ausgeschlossen. können sie dann noch überhaupt ein Erz.syst. bilden????
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Mi 09.05.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich will bzw. kann nur ein paar kleine Ideen meinerseits geben.
> also wäre die linearabhängigkeit von x und y
> ausgeschlossen. können sie dann noch überhaupt ein
> Erz.syst. bilden????
a) Ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^{2} [/mm] bilden [mm] x,y\in\IR^{2} [/mm] ja eigentlich nur, wenn sie linear unabhängig sind. In der Voraussetzung steht ja, dass x und y nicht auf einer gemeinsamen geraden liegen, also linear unabhängig sind. x und y erzeugen den [mm] \IR^{2}. [/mm] Sie sind also auch Basis des [mm] \IR^{2}, [/mm] weil man mit zwei linear unabhängigen Vektoren im [mm] \IR^{2} [/mm] jeden anderen Vektor [mm] z\in\IR^{2} [/mm] darstellen kann.
MfG
barsch
|
|
|
| |
|
Hallo,
zu a) und ergänzend zu barsch:
Sicher ist bekannt, daß die Dimension des [mm] \IR^2 [/mm] =2 ist.
Zeigst Du nun die lineare Unabhängigkeit von x,y so weißt Du: Basis ==> Erzeugendensystem.
Im Prinzip hast Du das ja auch verstanden ("spannen Ebene auf").
Aber Du sollst in Deiner HÜ gewiß zeigen, daß Du die Def. für lineare Unabhängigkeit kennst. Damit wird's dann auch so richtig schlüssig.
Nimm an, es gibt k,l [mm] \in \IR [/mm] mit kx+ly=0.
Und nun mußt Du daraus Deine Schlüsse ziehen.
zu b) Wenn ich nicht aufgrund einer leichten Morgenträgheit etwas verkehrt verstehe, geht es für einen beliebigen Körper genauso, bloß, daß da K steht statt [mm] \IR.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Do 10.05.2007 | | Autor: | solero |
sorry, aber irgendwie finde ich diese aufgabe zu blöd bzw zu "trivial", was mich allerdings irritiert...
wenn er doch schon in der aufgabenstellung sagt: [mm] "\alphax \not= \betay" [/mm] heisst es doch schon quasi, dass x und y linear unabhängig sind.
wenn ich aber dies beweisen möchte gilt doch, muss ich, wie oben auch erwähnt, wie folgt vorgehen:
Linearunabhängigkeit von x, y [mm] \in \IR^2: \alpha [/mm] x + [mm] \beta [/mm] y = 0 [mm] \Rightarrow \alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] = 0,
somit wäre dann auch die linearunabhängigkeit bewiesen, wenn nicht folgendes in der aufgabe gelten würde!!!!: [mm] \alpha, \beta \not= [/mm] 0!!!!
wie sollte man dann jetzt vorgehen????
hoffe, ihr versteht mein problem...
|
|
|
| |
|
> wie sollte man dann jetzt vorgehen????
> hoffe, ihr versteht mein problem...
Hallo,
ich glaube, daß ich Dein Problem jetzt langsam verstehe...
> sorry, aber irgendwie finde ich diese aufgabe zu blöd bzw
> zu "trivial",
Ich sage mal so: der Sachverhalt ist auf alle Fälle nicht der diffizilste, der einem im Fach Mathematik begegnen kann.
Es ist aber das Verständnis der linearen (Un-)Abhängigkeit und vor allem auch die Art und Weise, wie man das zeigt, derart grundlegend, daß man es üben muß. Mit "Anschauung und Ebene" kommt man nicht mehr weiter, wenn der Stoff auch nur ein wenig fortschreitet.
Noch eins:
mit mir kannst Du es machen - aber ansonsten möchte ich Dich vor dem Wort "trivial" warnen. Es fordert geradezu dazu heraus, dem Kandidaten intensivst auf den Zahn zu fühlen, und gelegentlich möchte man das ja doch eher nicht. "Trivial" ist etwas für die Cracks... Für die, die alles bis ins einzelne wasserdicht erklären können, wenn es darauf ankommt.
Und was im einzelnen trivial ist, hängt natürlich auch von dem level ab, auf welchem man gerade arbeitet.
> was mich allerdings irritiert...
> wenn er doch schon in der aufgabenstellung sagt: [mm]"\alpha x \not= \beta y"[/mm]
> heisst es doch schon quasi, dass x und y linear unabhängig
> sind.
Ja. Aber eben nur "quasi".
Ich glaube wirklich, daß es hier darum geht, sauber mit den Definitionen zu arbeiten und die Technik zu üben - man braucht das.
Ist doch irgendwie auch nett, daß das mit Beispielen getan wird, die man sofort durchschaut. Was nicht selbstverständlich ist...
> wenn ich aber dies beweisen möchte gilt doch, muss ich,
> wie oben auch erwähnt, wie folgt vorgehen:
> Linearunabhängigkeit von x, y [mm]\in \IR^2: \alpha[/mm] x + [mm]\beta[/mm]
> y = 0 [mm]\Rightarrow \alpha[/mm] = [mm]\beta[/mm] = 0,
> somit wäre dann auch die linearunabhängigkeit bewiesen,
> wenn nicht folgendes in der aufgabe gelten würde!!!!:
> [mm]\alpha, \beta \not=[/mm] 0!!!!
> wie sollte man dann jetzt vorgehen????
> hoffe, ihr versteht mein problem...
Ich zeige Dir jetzt, wie man es macht.
Seien [mm] \lambda, \mu \in \IR [/mm] mit
[mm] \lambda [/mm] x + [mm] \mu [/mm] y=0
==> [mm] \lambda [/mm] x=- [mm] \mu [/mm] y= [mm] (-\mu)y
[/mm]
Nach Voraussetzung ist für alle [mm] \alpha, \beta \in \IR [/mm] \ [mm] \{0\} \alpha [/mm] x [mm] \not= \beta [/mm] y.
Also sind [mm] \lambda, -\mu \not\in \IR [/mm] \ [mm] \{0\}.
[/mm]
==> [mm] \lambda=0= -\mu
[/mm]
==> [mm] \lambda=0= \mu.
[/mm]
Aus [mm] \lambda [/mm] x + [mm] \mu [/mm] y=0 folgt [mm] \lambda=0= \mu,
[/mm]
also sind x und y linear unabhängig.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Sa 12.05.2007 | | Autor: | solero |
wenn du folgendes schreibst:
> ==> [mm]\lambda=0= -\mu[/mm]
>
> ==> [mm]\lambda=0= \mu.[/mm]
hälst du dich doch nicht an die bedingung, dass [mm] \alpha, \beta \not= [/mm] 0..
oder sehe ich das falsch???
>
>
> Aus [mm]\lambda[/mm] x + [mm]\mu[/mm] y=0 folgt [mm]\lambda=0= \mu,[/mm]
>
> also sind x und y linear unabhängig.
>
>
|
|
|
| |
|
> wenn du folgendes schreibst:
> > ==> [mm]\lambda=0= -\mu[/mm]
> >
> > ==> [mm]\lambda=0= \mu.[/mm]
>
> hälst du dich doch nicht an die bedingung, dass [mm]\alpha, \beta \not=[/mm]
> 0..
> oder sehe ich das falsch???
Du siehst es falsch. [mm] \lambda=0= \mu [/mm] ist gerade eine Folge aus dieser Bedingung.
Nochmal: Vorausgesetzt ist, daß die Vielfachen von x, y verschieden sind, sobald die Faktoren von Null verschieden sind.
Diese Aussage ist äquivalent zu der, daß wenn die Vielfachen gleich sind, die Faktoren NICHT von Null verschieden sind.
Und genau das habe ich oben verwendet.
Wir hatten es mit gleichen Produkten zu tun. Aufgrund der Voraussetzung weiß ich: dann müssen die Faktoren gleich 0 sein.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Sa 12.05.2007 | | Autor: | solero |
ja und was ist z.b. wenn ich es so mache:
[mm] \alpha [/mm] x + [mm] \beta [/mm] y = 0 [mm] \gdw \alpha [/mm] x = - [mm] \beta [/mm] y [mm] \Rightarrow \alpha [/mm] = 0 = - [mm] \beta [/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha=\beta=0 [/mm] , somit sind x,y l.u.
|
|
|
| |
|
> ja und was ist z.b. wenn ich es so mache:
>
>
Sei
> [mm]\alpha[/mm] x + [mm]\beta[/mm] y = 0 [mm]\gdw \alpha[/mm] x = - [mm]\beta[/mm] y
> [mm]\Rightarrow \alpha[/mm] = 0 = - [mm]\beta[/mm]
Wenn Du diesen Schritt noch begründest, ist alles richtig.
Gruß v. Angela
>
> [mm]\Rightarrow \alpha=\beta=0[/mm] , somit sind x,y l.u.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Sa 12.05.2007 | | Autor: | solero |
ok alles klar, danke dir!
zu der b.) komme ich nur darauf, dass die aussage auch für einen körper IK gilt, da die körperaxiome bzgl. der multipl. nicht verletzt werden, ist das richtig??
|
|
|
| |
|
> zu der b.) komme ich nur darauf, dass die aussage auch für
> einen körper IK gilt,
Ja, sie gilt in jedem beliebigen Körper.
Der Beweis (*) , den ich in einer der Antworten schrieb, geht genauso, wenn man statt k,l [mm] \in \IR [/mm] k,l aus einem beliebigen Körper hat. (oder [mm] \alpha, \beta, [/mm] wenn's Dir besser gefällt.)
Man muß nur [mm] \IR [/mm] durch K ersetzen (und sich natürlich jedesmal streng fragen, ob die jeweilige Aussage wirklich in allgemeinen Körpern gilt.)
Gruß v. Angela
(*)
Seien $ [mm] \lambda, \mu \in \IR [/mm] $ mit
$ [mm] \lambda [/mm] $ x + $ [mm] \mu [/mm] $ y=0
==> $ [mm] \lambda [/mm] $ x=- $ [mm] \mu [/mm] $ y= $ [mm] (-\mu)y [/mm] $
Nach Voraussetzung ist für alle $ [mm] \alpha, \beta \in \IR [/mm] $ \ $ [mm] \{0\} \alpha [/mm] $ x $ [mm] \not= \beta [/mm] $ y.
Also sind $ [mm] \lambda, -\mu \not\in \IR [/mm] $ \ $ [mm] \{0\}. [/mm] $
==> $ [mm] \lambda=0= -\mu [/mm] $
==> $ [mm] \lambda=0= \mu. [/mm] $
Aus $ [mm] \lambda [/mm] $ x + $ [mm] \mu [/mm] $ y=0 folgt $ [mm] \lambda=0= \mu, [/mm] $
also sind x und y linear unabhängig.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Sa 12.05.2007 | | Autor: | solero |
@ angela: sorra ich glaub, ich bin im moment n bissi verpeillt!!
kannst du bitte kurz erklären wie du auf folgenden schritt gekommen bist??:
> Also sind [mm]\lambda, -\mu \not\in \IR[/mm] \ [mm]\{0\}.[/mm]
das leuchtet mir irgendwie nicht ein...
|
|
|
| |
|
> @ angela: sorra ich glaub, ich bin im moment n bissi
> verpeillt!!
> kannst du bitte kurz erklären wie du auf folgenden schritt
> gekommen bist??:
>
> > Also sind [mm]\lambda, -\mu \not\in \IR[/mm] \ [mm]\{0\}.[/mm]
Wir hatten
$ [mm] \lambda [/mm] $ x=- $ [mm] \mu [/mm] $ y= $ [mm] (-\mu)y [/mm] $.
Nach Voraussetzung gilt für alle $ [mm] \alpha, \beta \in \IR [/mm] $ \ $ [mm] \{0\}: \alpha [/mm] $ x $ [mm] \not= \beta [/mm] $ y.
Das heißt, wenn die Produkte [mm] \alpha [/mm] $ x $ und [mm] \beta [/mm] $ y gleich sind, sind [mm] \alpha, \beta not\in \IR [/mm] $ \ $ [mm] \{0\}.
[/mm]
Dann bleibt ihnen aber nichts anderes übrig, als =0 zu sein.
Und weil [mm] \alpha, \beta [/mm] für irgendwelche reellen Zahlen stehen, gilt das für mein [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] auch, denn das sind ja auch irgendwelche reellen Zahlen - mit der Eigenschaft, daß [mm] x=(-\mu)y. [/mm]
Also sind $ [mm] \lambda, -\mu \not\in \IR [/mm] $ \ $ [mm] \{0\}. [/mm] $
Wenn Dich die [mm] \lambda,\mu [/mm] irritieren, mach es mit [mm] \alpha, \beta.
[/mm]
(Ich habe das extra verschieden gewählt, weil ich dachte, daß Du es dann leichter verstehst...)
Gruß v. Angela
|
|
|
|
