Erzeugendensystem < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 Mi 11.10.2006 | | Autor: | hiltrud |
| Aufgabe | | Man untersuche ob (1,0,1) , (1,1,0) , (0,1,1) ein Erzeugendensystem des [mm] \IR [/mm] ^{3} ist. P.S Ist das System linear unabhängig? |
Also ich bin folgendermaßen vorgegangen:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] * [mm] \lambda1 [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] * [mm] \lambda2 [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] * [mm] \lambda3 [/mm] = [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3}
[/mm]
weiter habe ich dann wie folgt gemacht :
I: [mm] \lambda1 [/mm] + [mm] \lambda3 [/mm] = x3
II: [mm] \lambda1 [/mm] + [mm] \lambda2 [/mm] = x1
III: [mm] \lambda2 [/mm] + [mm] \lambda3 [/mm] = x2
zu I: [mm] \lambda1= [/mm] x3 - [mm] \lambda3
[/mm]
zu III: [mm] \lambda2= [/mm] x2- [mm] \lambda3
[/mm]
zu II: x3 - [mm] \lambda3 [/mm] + [mm] \lambda2 [/mm] = x1 --> x3 - [mm] \lambda3 [/mm] + x2 - [mm] \lambda3=x1
[/mm]
2* [mm] \lambda3 [/mm] = x3 + x2 -x1
soweit bin ich nun, aber ich habe keine ahnung was ich nun machen muss. vielleicht ist mein ansatz ja komplett falsch. ich hoffe mir kann jemand schnell helfen...sitze nuns chon länger an der aufgabe, wäre wirklich lieb
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Hi, hiltrud,
> Man untersuche ob (1,0,1) , (1,1,0) , (0,1,1) ein
> Erzeugendensystem des [mm]\IR[/mm] ^{3} ist. P.S Ist das System
> linear unabhängig?
Wenn die 3 Vektoren linear unabhängig sind, bilden sie ein Erzeugendensystem, wenn nicht, dann eben keins!
> Also ich bin folgendermaßen vorgegangen:
>
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] * [mm]\lambda1[/mm] + [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] *
> [mm]\lambda2[/mm] + [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm] * [mm]\lambda3[/mm] = [mm]\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}[/mm]
Der Vektor auf der rechten Seite ist ein BELIEBIGER Vektor des [mm] \IR^{3}, [/mm] daher in Deinem Ansatz sinnlos!
Du musst stattdessen den Nullvektor einsetzen und zeigen, dass dann ALLE DREI [mm] \lambda [/mm] 's =0 sind!
> weiter habe ich dann wie folgt gemacht :
>
> I: [mm]\lambda1[/mm] + [mm]\lambda3[/mm] = x3
> II: [mm]\lambda1[/mm] + [mm]\lambda2[/mm] = x1
> III: [mm]\lambda2[/mm] + [mm]\lambda3[/mm] = x2
>
> zu I: [mm]\lambda1=[/mm] x3 - [mm]\lambda3[/mm]
> zu III: [mm]\lambda2=[/mm] x2- [mm]\lambda3[/mm]
> zu II: x3 - [mm]\lambda3[/mm] + [mm]\lambda2[/mm] = x1 --> x3 - [mm]\lambda3[/mm] +
> x2 - [mm]\lambda3=x1[/mm]
> 2* [mm]\lambda3[/mm] = x3 + x2 -x1
Wenn Du nun davon ausgehst, dass [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] =0 sind, hast Du schon mal: [mm] \lambda_{3} [/mm] = 0
Der Rest läuft problemlos!
mfG!
Zwerglein
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Hallo Hiltrud,
bilde doch die Determinante, denn wenn n Vektoren im [mm] K^n [/mm] linear unabhängig sind, dann ist die Determinante [mm] \not=0
[/mm]
Gruß
Adamantan
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