Erzeugendensystem-Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Di 18.12.2007 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | | Die Teilmenge [mm] M=\{(1,-1,2),(4,3,1),(5,2,3)\} [/mm] des Vektorraums [mm] \IR^3 [/mm] erzeugt einen Untervektorraum U von [mm] \IR^3. [/mm] Bestimmen Sie eine Teilmenge von M, die Basis von U ist. |
zunächst habe ich mit den vektoren eine matrix gebildet und deren rang ermittelt: r=2. dann habe ich mir überlegt, dass der rang des erzeugten UR U ja mit dem rang des erzeugendensystems, also M übereinstimmen muss, also [mm] r_U [/mm] ebenfalls gleich 2 ist. ein solcher UR U von [mm] \IR^3 [/mm] wäre ja [mm] \IR^2 [/mm] . nun kann ich mir jedoch vorstellen, dass dies viel zu einfach gedachr ist?! wenn ja, was muss man bedenken und wie geht man genau vor?
wenn ich nun die teilmenge von M bestimmen soll, die basis von U (meiner annahme nach [mm] \IR^2) [/mm] ist, so würde das ja auch schon nicht mehr stimmen, denn die vektoren aus M besitzen ja drei komponenten, können also gar nicht in [mm] \IR^2 [/mm] sein, oder?!
|
|
| |
|
> Die Teilmenge [mm]M=\{(1,-1,2),(4,3,1),(5,2,3)\}[/mm] des
> Vektorraums [mm]\IR^3[/mm] erzeugt einen Untervektorraum U von
> [mm]\IR^3.[/mm] Bestimmen Sie eine Teilmenge von M, die Basis von U
> ist.
Hallo,
> zunächst habe ich mit den vektoren eine matrix gebildet
> und deren rang ermittelt: r=2.
Das bedeutet, daß die drei Vektoren einen Unterraum von [mm] \IR^3 [/mm] der Dimension 2 aufspannen.
> dann habe ich mir überlegt,
> dass der rang des erzeugten UR U ja mit dem rang des
> erzeugendensystems,
Den Rang eines Erzeugendensystems gibt es nicht.
> also M übereinstimmen muss, also [mm]r_U[/mm]
> ebenfalls gleich 2 ist.
Die Dimension von U ist gleich 2.
> ein solcher UR U von [mm]\IR^3[/mm] wäre ja
> [mm]\IR^2[/mm] .
Dies ist ein weitverbreitetes Gerücht.
Es ist verkehrt.
Der [mm] \IR^2 [/mm] hat zwar die Dimension 2, ist jedoch kein Unterraum des [mm] \IR^3, [/mm] einen Grund dafür gibst Du weiter unten selber an.
Der wahre kern des Gerüchtes: jeder zweidimensionale Unterraum des [mm] \IR^3, [/mm] also alle Ebenen durch den Ursprung, sind isomorph zum [mm] \IR^2.
[/mm]
> nun kann ich mir jedoch vorstellen, dass dies viel
> zu einfach gedachr ist?!
Ich kann mich gar nicht entscheiden, ob zu einfach oder zu kompliziert...
Der Unterraum U hat die Dimension 2, und die drei Vektoren erzeugen ihn.
Fisch nun aus den drei Vektoren zwei heraus, die linear unabhängig sind.
Damit hast Du dann die Basis v. U gefunden.
U ist die Ebene, die v. diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Di 18.12.2007 | | Autor: | jura |
na klar, du hast ja recht (hast du ja eh immer  - ich muss natürlich unterscheiden zwischen rang und dimension!
man muss den UR U also nicht noch genauer definieren oder berechnen? es reicht, zu sagen, dass er die dimension 2 hat? ist es überhaupt möglich, noch weitere angaben zu machen?
ja, ich hatte auch bereits alle drei möglichen kombinationen der drei vektoren auf lineare abhängigkeit überprüft- sie sind jeweils alle linear unabhängig. es ist also egal, welche beiden vektoren ich "herausfische"- sie bilden immer eine basis von U. richtig?
so halb kann ich mir ja auch vorstellen, dass [mm] \IR^2 [/mm] kein ur von [mm] \IR^3 [/mm] ist- jedoch kann ich mit "isomorph" (noch?) nichts anfangen- entweder kommt es noch an der uni oder ich werdes in meinen büchern lesen...
also, besten dank und viele grüße!
|
|
|
| |
|
> man muss den UR U also nicht noch genauer definieren oder
> berechnen?
Nein, wie dieser raum beschaffen ist, ist völlig klar: er wird von den drei Vektoren erzeugt, was bedeutet, daß er aus sämtlichen Linearkombinationen dieser Vektoren besteht.
> es reicht, zu sagen, dass er die dimension 2
> hat?
Natürlich muß man das begründen.
Das hast Du ja schon getan:
die drei erzeugenden Vektoren sind linear abhängig, also können sie keine Basis sein. Man findet jedoch unter ihnen zwei unabhängige, die den Vektorraum erzeugen.
> ist es überhaupt möglich, noch weitere angaben zu
> machen?
Ja, durch die Angabe einer Basis weiß man sehr genau, wie der Raum aussieht.
> ja, ich hatte auch bereits alle drei möglichen
> kombinationen der drei vektoren auf lineare abhängigkeit
> überprüft- sie sind jeweils alle linear unabhängig. es ist
> also egal, welche beiden vektoren ich "herausfische"- sie
> bilden immer eine basis von U. richtig?
Ja. Du kannst Dir die schönste aussuchen.
> so halb kann ich mir ja auch vorstellen, dass [mm]\IR^2[/mm] kein
> ur von [mm]\IR^3[/mm] ist
Das von Dir selbst gebrachte Argument mit den zwei bzw. drei Koordinaten ist doch wirklich überzeugend.
> - jedoch kann ich mit "isomorph" (noch?)
> nichts anfangen-
Es wird bald kommen.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
