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| Aufgabe | Man führt unabhängig Exeperimente bis zum ersten Erfolg durch, wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit bei allen Experimenten gleich p ist. Danach werden weitere unabhängige Experimente wiederholt bis zum ersten Misserfolg.
A) Bestimmen Sie die erzeugende Funktion der gesamten Anzahl X aller durchgeführten Experimente. |
Erzeugende Funktion der Zufallsvariablen X mit Werten in [mm] $\IZ_+ [/mm] = [mm] \{0,1 \ldots\} [/mm] haben wir definiert als:
[mm] $\varphi_X [/mm] (s) = [mm] E(s^X) [/mm] = [mm] \sum_k s^k [/mm] P(X=k)$
Des weiteren gilt:
Wenn X und Y unabhängig sind gilt:
[mm] $\varphi_{X+Y} [/mm] (s) = [mm] \varphi_X [/mm] (s) * [mm] \varphi_Y [/mm] (s) $
Meine Lösungsidee:
Verteilung für unabhängige Experimente bis zum ersten Erfolg (Erfolg mit W'keit p, Misserfolg mit W'keit q = 1-p ):
[mm] $P(X_1 [/mm] = k) = [mm] q^{k-1}*p$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \varphi_{X_1} [/mm] (s) = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \frac{p}{q}(sq)^k [/mm] = [mm] \frac{p}{q}(\frac{1}{1-sq})$
[/mm]
Verteilung für unabhängige Experimente bis zum ersten Misserfolg (Erfolg mit W'keit p, Misserfolg mit W'keit q = 1-p ):
[mm] $P(X_2= [/mm] l) = [mm] p^{l-1}*q$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \varphi_{X_2} [/mm] (s) = [mm] \sum_{l=0}^{\infty} \frac{q}{p}(sp)^l [/mm] = [mm] \frac{q}{p}(\frac{1}{1-sp})$
[/mm]
Danach ergibt isch die erzeugende Funktion für $X = [mm] X_1 [/mm] + [mm] X_2$ [/mm] aus [mm] $\varphi_{X} [/mm] (s) = [mm] \varphi_{X_1} [/mm] (s) * [mm] \varphi_{X_2}(s) [/mm] $
Ich möchte nun fragen, ob das obenbeschriebene Verfahren korrekt ist. Besten Dank.
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im Prinzip OK nur schau dir nochmal die Summationsgrenzen an...
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