Erweiterung von Zahlenbereiche < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Überprüfen sie mit Hilfe der Eigenschaften in 6. 9 (Die Eigenschaften der Menge [mm] \IR [/mm] und Operationen +, * erfüllen eigenschaften z:b [mm] \forall [/mm] (x,y [mm] \in \IR [/mm] ) : (x+y) [mm] \in \IR [/mm] ), ob die Mengen
a) [mm] \IN
[/mm]
b) [mm] \IZ
[/mm]
c) [mm] \IQ
[/mm]
mit den beiden Operationen + und * einen Körper bilden. es reicht wenn sie für den Fall, dass kein Koerper vorliegt alle Eigenschaften anzugeben, die nicht erfüllt sind. Dort wo es sinnvoll ist, geben sie dann bitte jeweils ein Gegenbeispiel an. |
Schon beim verstehen dieser Frage habe ich Probleme. Ich weiß gar nicht wie ich anfangen soll.
Kann mir evtl. jemand helfen und vielleicht mal den Anfang machen, damit ich weiß was ich ueberhaupt machen muss.
vielen Dank im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo baerchenlisa,
> Überprüfen sie mit Hilfe der Eigenschaften in 6. 9 (Die
> Eigenschaften der Menge [mm]\IR[/mm] und Operationen +, * erfüllen
> eigenschaften z:b [mm]\forall[/mm] (x,y [mm]\in \IR[/mm] ) : (x+y) [mm]\in \IR[/mm]
> ), ob die Mengen
> a) [mm]\IN[/mm]
> b) [mm]\IZ[/mm]
> c) [mm]\IQ[/mm]
>
> mit den beiden Operationen + und * einen Körper bilden. es
> reicht wenn sie für den Fall, dass kein Koerper vorliegt
> alle Eigenschaften anzugeben, die nicht erfüllt sind. Dort
> wo es sinnvoll ist, geben sie dann bitte jeweils ein
> Gegenbeispiel an.
> Schon beim verstehen dieser Frage habe ich Probleme. Ich
> weiß gar nicht wie ich anfangen soll.
> Kann mir evtl. jemand helfen und vielleicht mal den Anfang
> machen, damit ich weiß was ich ueberhaupt machen muss.
Na, du sollst überprüfen, ob die gegebenen Mengen einen Körper bilden.
Dazu sollst du die Körperaxiome, die wohl bei euch in Satz 6.9 stehen, nachprüfen.
Falls kein Körper vorliegt, sollst du alle Axiome, die nicht erfüllt sind, angeben (etwa mit einem Gegenbsp.)
Mal zu a): Ist [mm]\IN[/mm] bzgl "+" abgeschlossen? Gilt für alle [mm]n,m\in\IN[/mm], dass [mm]n+m\in\IN[/mm] ist?
Gibt es ein neutrales Element bzgl. "+"?
Gibt es zu [mm]n\in\IN[/mm] ein Inverses bzgl. "+" ?
Multiplikativ ist es noch schlimmer!
Gilt Abgeschlossenheit?
Gibt es ein neutr. Element?
Gibt es zu jedem [mm]n\in\IN[/mm] ein mult. Inverses?
Gelten schließlich die Distributivgesetze?
Bei [mm]\IN[/mm] sind recht viele Axiome verletzt, schaue dir das mal in Ruhe an.
Bei [mm]\IZ[/mm] sind schon weniger Axiome verletzt, [mm](\IZ,+,\cdot{})[/mm] ist schon ein Ring, aber kein Körper, zu [mm]z=2[/mm] etwa gibt es kein multipikativ Inverses, es müsste ja [mm]zz^{-1}=2\cdot{}2^{-1}=1[/mm] sein, also [mm]z^{-1}=\frac{1}{2}[/mm]
Aber das ist [mm]\notin\IZ[/mm]
In c) wird sich [mm]\IQ[/mm] als Körper heraussetellen.
Zeige, dass [mm](\IQ,+)[/mm] eine abelsche Gruppe ist.
Weiter, dass [mm](\IQ\setminus\{0\},\cdot{})[/mm] eine abelsche Gruppe ist und schließlich,
dass die Distributivgesetze gelten (eines reicht wegen der Kommutativität)
>
> vielen Dank im voraus
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
|
|
|
|
