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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Do 10.03.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei p prim, $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Zeigen Sie:
(i) Für $f [mm] \in \IF_p[X]$ [/mm] irreduzibel gilt: $f [mm] \:|\: X^{p^n}-X \gdw deg\:f \:|\:n$
[/mm]
(ii) Für [mm] $X^{p^n}-X \in \IF_p[X]$ [/mm] gilt: [mm] $X^{p^n}-X [/mm] = [mm] \produkt_i{f_i}$, [/mm] wobei die [mm] $f_i$ [/mm] die irreduziblen, normierten Polynome aus [mm] $\IF_p[X]$ [/mm] seien, für die gilt: $deg [mm] \: [/mm] f [mm] \:|\: [/mm] n$ |
Hallo,
ich würde um eine Korrektur bitten, da mir die Aufgabe doch recht schwer gefallen ist:
(i) [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] $f [mm] \in \IF_p[X]$ [/mm] irred. und $f [mm] \:|\: X^{p^n}-X \Rightarrow [/mm] f$ ist Minimalpolynom eines Elements [mm] $\alpha \in \IF_{p^n}$ [/mm] über [mm] $\IF_p$, [/mm] da die Nullstellen von [mm] $X^{p^n}-X$ [/mm] gerade die Elemente von [mm] $\IF_{p^n}$ [/mm] sind.
Es gilt: [mm] $[\IF_{p}(\alpha):\IF_p]=deg\:f$ [/mm] und [mm] $n=[\IF_{p^n}:\IF_p]=[\IF_{p^n}:\IF_p(\alpha)][\IF_p(\alpha):\IF_p] [/mm] = [mm] deg\:f\: \cdot \: [\IF_{p^n}:\IF_p(\alpha)] \Rightarrow deg\:f \:|\: [/mm] n$
[mm] "$\Leftarrow$" [/mm] $f [mm] \in \IF_p[X]$ [/mm] irred. und [mm] $deg\:f \:|\: [/mm] n$. Sei [mm] $\alpha$ [/mm] Nullstelle von [mm] $f\:$ [/mm] in einem algebraischen Abschluss [mm] $\overline{\IF_p}$ [/mm] von [mm] $\IF_p \Rightarrow [\IF_p(\alpha):\IF_p] [/mm] = deg [mm] \:f \:|\: [/mm] n [mm] \Rightarrow \alpha \in \IF_{p^{deg\:f}} \Rightarrow \alpha$ [/mm] ist Nullstelle von [mm] $X^{p^{deg\:f}}-X \Rightarrow$ [/mm] da es ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] gibt: [mm] $m\cdot deg\:f [/mm] = n$ folgt: [mm] $\alpha^{p^n}-\alpha [/mm] = [mm] \alpha^{p^{deg\:f \cdot m}}-\alpha [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \alpha$ [/mm] ist Nullstelle von [mm] $X^{p^n}-X \Rightarrow \alpha \in \IF_{p^n} \Rightarrow f=min_{\IF_p}(\alpha) \:|\: X^{p^n}-X$
[/mm]
(ii) Sei [mm] $\alpha$ [/mm] eine Nullstelle von [mm] $f_i$ [/mm] in einem algebraischen Abschluss [mm] $\overline{\IF_p}$ [/mm] von [mm] $\IF_p \Rightarrow$ [/mm] da [mm] $f_i$ [/mm] irreduzibel und normiert in [mm] $\IF_p[X]$ [/mm] ist, ist [mm] $f_i$ [/mm] Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] über [mm] $\IF_p$ \Rightarrow$ [/mm] mit (i) folgt: [mm] $f_i \:|\: X^{p^n}-X$ [/mm] und damit ist [mm] $\alpha \in \IF_{p^n}$ [/mm] und somit Nullstelle von [mm] $X^{p^n}-X$.
[/mm]
Sei andererseits [mm] $\alpha$ [/mm] Nullstelle von [mm] $X^{p^n}-X$ [/mm] in einem algebraischen Abschluss [mm] $\overline{\IF_p}$ [/mm] von [mm] $\IF_p \Rightarrow \alpha$ [/mm] ist Nullstelle von [mm] $f\:$, [/mm] einem Teiler von [mm] $X^{p^n}-X$ [/mm] aus [mm] $\IF_p[X]$, [/mm] der irreduzibel und normiert ist [mm] $\Rightarrow$ [/mm] aus (i) folgt damit [mm] $deg\:f \:|\: [/mm] n [mm] \Rightarrow [/mm] f [mm] \in \{f_i\}$.
[/mm]
Die Nullstellen von [mm] $X^{p^n}-X$ [/mm] und [mm] $\produkt_i f_i$ [/mm] in einem algebraischen Abschluss stimmen also überein. [mm] $X^{p^n}-X$ [/mm] hat [mm] $p^n [/mm] = [mm] $#$\IF_{p^n}$ [/mm] ausschließlich verschiedene Nullstellen. [mm] $\produkt_i f_i$ [/mm] hat mindestens ebenso viele, da alle Minimalpolynome der Elemente aus [mm] $\IF_{p^n}$ [/mm] unter den [mm] $f_i$ [/mm] sind. Damit sind die beiden Polynome gleich.
Vielen Dank für die Hilfe!
LG Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Do 10.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei p prim, [mm]n \in \IN[/mm].
>
> Zeigen Sie:
> (i) Für [mm]f \in \IF_p[X][/mm] irreduzibel gilt: [mm]f \:|\: X^{p^n}-X \gdw deg\:f \:|\:n[/mm]
>
> (ii) Für [mm]X^{p^n}-X \in \IF_p[X][/mm] gilt: [mm]X^{p^n}-X = \produkt_i{f_i}[/mm],
> wobei die [mm]f_i[/mm] die irreduziblen, normierten Polynome aus
> [mm]\IF_p[X][/mm] seien, für die gilt: [mm]deg \: f \:|\: n[/mm]
> Hallo,
>
> ich würde um eine Korrektur bitten, da mir die Aufgabe
> doch recht schwer gefallen ist:
>
> (i) "[mm]\Rightarrow[/mm]" [mm]f \in \IF_p[X][/mm] irred. und [mm]f \:|\: X^{p^n}-X \Rightarrow f[/mm]
> ist Minimalpolynom eines Elements [mm]\alpha \in \IF_{p^n}[/mm]
> über [mm]\IF_p[/mm], da die Nullstellen von [mm]X^{p^n}-X[/mm] gerade die
> Elemente von [mm]\IF_{p^n}[/mm] sind.
> Es gilt: [mm][\IF_{p}(\alpha):\IF_p]=deg\:f[/mm] und
> [mm]n=[\IF_{p^n}:\IF_p]=[\IF_{p^n}:\IF_p(\alpha)][\IF_p(\alpha):\IF_p] = deg\:f\: \cdot \: [\IF_{p^n}:\IF_p(\alpha)] \Rightarrow deg\:f \:|\: n[/mm]
>
> "[mm]\Leftarrow[/mm]" [mm]f \in \IF_p[X][/mm] irred. und [mm]deg\:f \:|\: n[/mm]. Sei
> [mm]\alpha[/mm] Nullstelle von [mm]f\:[/mm] in einem algebraischen Abschluss
> [mm]\overline{\IF_p}[/mm] von [mm]\IF_p \Rightarrow [\IF_p(\alpha):\IF_p] = deg \:f \:|\: n \Rightarrow \alpha \in \IF_{p^{deg\:f}} \Rightarrow \alpha[/mm]
> ist Nullstelle von [mm]X^{p^{deg\:f}}-X \Rightarrow[/mm] da es ein [mm]m \in \IN[/mm]
> gibt: [mm]m\cdot deg\:f = n[/mm] folgt: [mm]\alpha^{p^n}-\alpha = \alpha^{p^{deg\:f \cdot m}}-\alpha = 0 \Rightarrow \alpha[/mm]
> ist Nullstelle von [mm]X^{p^n}-X \Rightarrow \alpha \in \IF_{p^n} \Rightarrow f=min_{\IF_p}(\alpha) \:|\: X^{p^n}-X[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (ii) Sei [mm]$\alpha$[/mm] eine Nullstelle von [mm]$f_i$[/mm] in einem
> algebraischen Abschluss [mm]$\overline{\IF_p}$[/mm] von [mm]$\IF_p \Rightarrow$[/mm]
> da [mm]$f_i$[/mm] irreduzibel und normiert in [mm]$\IF_p[X]$[/mm] ist, ist
> [mm]$f_i$[/mm] Minimalpolynom von [mm]$\alpha$[/mm] über [mm]$\IF_p$ \Rightarrow$[/mm]
> mit (i) folgt: [mm]$f_i \:|\: X^{p^n}-X$[/mm] und damit ist [mm]$\alpha \in \IF_{p^n}$[/mm]
> und somit Nullstelle von [mm]$X^{p^n}-X$.[/mm]
> Sei andererseits [mm]\alpha[/mm] Nullstelle von [mm]X^{p^n}-X[/mm] in einem
> algebraischen Abschluss [mm]\overline{\IF_p}[/mm] von [mm]\IF_p \Rightarrow \alpha[/mm]
> ist Nullstelle von [mm]f\:[/mm], einem Teiler von [mm]X^{p^n}-X[/mm] aus
> [mm]\IF_p[X][/mm], der irreduzibel und normiert ist [mm]\Rightarrow[/mm] aus
> (i) folgt damit [mm]deg\:f \:|\: n \Rightarrow f \in \{f_i\}[/mm].
>
> Die Nullstellen von [mm]X^{p^n}-X[/mm] und [mm]\produkt_i f_i[/mm] in einem
> algebraischen Abschluss stimmen also überein.
> [mm]X^{p^n}-X[/mm]
> hat [mm]p^n = [/mm]#[mm]\IF_{p^n}[/mm] ausschließlich verschiedene
> Nullstellen. [mm]\produkt_i f_i[/mm] hat mindestens ebenso viele, da
> alle Minimalpolynome der Elemente aus [mm]\IF_{p^n}[/mm] unter den
> [mm]f_i[/mm] sind. Damit sind die beiden Polynome gleich.
Nein, das reicht so nicht. Du musst noch zeigen, dass (mindestens) eins der Polynome quadratfrei ist.
Oder zeig alternativ: beide Polynome sind quadratfrei (das ist einfacher). Daraus, und daraus dass alle Nullstellen gleich sind und beide Polynome normiert sind, folgt bereits die Gleichheit.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Fr 11.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> > [mm]X^{p^n}-X[/mm]
> > hat [mm]p^n = [/mm]#[mm]\IF_{p^n}[/mm] ausschließlich verschiedene
> > Nullstellen. [mm]\produkt_i f_i[/mm] hat mindestens ebenso viele, da
> > alle Minimalpolynome der Elemente aus [mm]\IF_{p^n}[/mm] unter den
> > [mm]f_i[/mm] sind. Damit sind die beiden Polynome gleich.
>
> Nein, das reicht so nicht. Du musst noch zeigen, dass
> (mindestens) eins der Polynome quadratfrei ist.
Die Quadratfreiheit von [mm] $X^{p^n}-X$ [/mm] folgt doch daraus, dass das Polynom, wie ich oben geschrieben habe, nur verschiedene Nullstellen besitzt. Daher hatte ich es erwähnt. Oder reicht das nicht?
LG Lippel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Sa 12.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > [mm]X^{p^n}-X[/mm]
> > > hat [mm]p^n = [/mm]#[mm]\IF_{p^n}[/mm] ausschließlich verschiedene
> > > Nullstellen. [mm]\produkt_i f_i[/mm] hat mindestens ebenso viele, da
> > > alle Minimalpolynome der Elemente aus [mm]\IF_{p^n}[/mm] unter den
> > > [mm]f_i[/mm] sind. Damit sind die beiden Polynome gleich.
> >
> > Nein, das reicht so nicht. Du musst noch zeigen, dass
> > (mindestens) eins der Polynome quadratfrei ist.
>
> Die Quadratfreiheit von [mm]X^{p^n}-X[/mm] folgt doch daraus, dass
> das Polynom, wie ich oben geschrieben habe, nur
> verschiedene Nullstellen besitzt. Daher hatte ich es
> erwähnt. Oder reicht das nicht?
Doch, das reicht.
Ansonsten kurz ableiten, dann siehst du sofort dass die Ableitung teilerfremd zum Polynom selber ist :)
LG Felix
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