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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,bin ganz neu hier und das ist meine 1.Frage,slo wenn ich i-was flasch mache,sorry.Versuch mich auch ganz und voll an die Regeln zu halte. Also unser Lehrer hat uns in der letzten mthestunde eine Definition aufschreiben lasse,ich habe sie leider nicht verstanden und weiß nciht was damit gemeint sein soll.
Definition:
Eine Tangente an einem Graphen durch einen Punkt P auf dem Graphen ist die beste lineare Annäherung an den Graphen,die durch P verläuft.
Wer lieb wenn mir das Jemand erklren könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Sa 24.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also unser Lehrer hat uns in
> der letzten mthestunde eine Definition aufschreiben
> lasse,ich habe sie leider nicht verstanden und weiß nciht
> was damit gemeint sein soll.
> Definition:
> Eine Tangente an einem Graphen durch einen Punkt P auf dem
> Graphen ist die beste lineare Annäherung an den Graphen,die
> durch P verläuft.
> Wer lieb wenn mir das Jemand erklren könnte.
OK, dazu muss man die Definition in ihre Einzelteile zerlegen.
Wir haben den Graphen einer Funktion f(x) und einen Punkt [mm]P=(x_0,y_0)[/mm] auf diesem Graphen.
Lineare Annäherung
Eine lineare Funktion ist von der Form [mm]l(x) = ax+b[/mm], das beschreibt eine Gerade. Eine lineare Annäherung an den Graphen (auch Approximation genannt) ist eine solche Funktion, die nur annähernd den Graphen wiedergibt.
Um das zu verstehen, malst du dir am besten so einen Graphen mal auf und legst verschiedene Geraden durch den Punkt P.
Damit sie durch den Punkt P gehen, muss [mm]l(x_0) = y_0[/mm] sein, also [mm]ax_0+b=y_0[/mm]. Damit ist klar, dass [mm]b = ax_0-y_0[/mm] oder [mm]l(x) = a(x-x_0) +y_0[/mm]. Alle diese Geraden unterscheiden sich nur im Wert von a.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Frage ist nun: welche dieser Geraden ist die
Beste lineare Annäherung?
Dazu muss man sich klarmachen, welche dieser Geraden bessere und welche schlechtere Annäherungen sind. Ich behaupte einfach, dass eine Annäherung [mm]l_1(x)=a_1(x-x_0)+y_0[/mm] besser ist als eine andere [mm]l_2(x)=a_1(x-x_0)-y_0[/mm], wenn der Unterschied zwischen Graph und Gerade [mm]l_1(x)[/mm] kleiner ist als der Unterschied zwischen Graph und Gerade [mm]l_2(x)[/mm].
Dabei geht es mir nur um den Unterschied in der Nähe des Punktes P (in dem Bild durch die beiden grünen Linien begrenzt), den so ein Graph in einiger Entfernung von P irgnedwie aussehen.
Dazu vergrößerere ich das Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
In dem Bild ist es die rote Gerade, die am nächsten am Graphen liegt.
Was ist das in Formeln?
Der vertikale Abstand zwischen Funktion f und linearer Annäherung l ist doch
[mm] f(x) - l(x) = f(x) - a(x-x_0) -y_0[/mm].
Da auch der Punkt P auf dem Graphen von f liegt, ist [mm]y_0=f(x_0)[/mm] und daher
[mm] f(x) - l(x) = f(x) - f(x_0) -a (x-x_0) = (x-x_0)*\left(\bruch{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} -a\right)[/mm]
Die Aussage heisst also in Formeln, dass der Abstand links in der Nähe von [mm]x_0[/mm] dann am kleinsten ist, wenn a die Steigung der Tangente ist, also [mm]f'(x_0)[/mm].
Ich hoffe, das hilft dir weiter.
Viele Grüße
Rainer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Mandy_90 |
Danke,hab jetzt schon etwas mehr Überblick darüber,worum es geht.Aber ein paar Dinge sind immer noch net danz so klar.Also was meinst du denn mit l(x)... was heißt denn dieses l????Und wie man zu der Formel kommt,kann ich nicht so ganz nachvollziehen.^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Sa 24.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke,hab jetzt schon etwas mehr Überblick darüber,worum es
> geht.Aber ein paar Dinge sind immer noch net danz so
> klar.Also was meinst du denn mit l(x)... was heißt denn
> dieses l????
l wie linear. l(x) soll irgendeine Gerade durch den Punkt [mm]P=(x_0,y_0)[/mm] bedeuten. Damit sie durch den Punkt P geht, muss sie die Form [mm]a*(x-x_0)+y_0[/mm] haben.
> Und wie man zu der Formel kommt,kann ich nicht
> so ganz nachvollziehen.^^
Da habe ich den Unterschied zwischen Funktion f und Gerade l im Punkt x ausgerechnet, dabei nur [mm]l(x) = a*(x-x_0)+y_0[/mm] und [mm]y_0=f(x_0)[/mm] eingesetzt und [mm](x-x_0)[/mm] ausgeklammert.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Mandy_90 |
boah dankeschön,habs schon fast verstanden,aber ich weoß nur nicht woher du die Formel l(x)=a(x-x0)+y hehast.Ist das ne allgemeine Formel für etwas oder hast du sie von einer anderen umgestellt oder wo kommt die her??^^
Ach ja und ich wollt noch wissen,was hier mit gemeint ist "Eine lineare Annäherung an den Graphen (auch Approximation genannt) ist eine solche Funktion, die nur annähernd den Graphen wiedergibt." Also um genau zu sein,was heißt denn,dass sie den Graphen nur annähernd wiedergibt?Wie könnte man sich das denn vorstellen??
thnx ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Mo 26.11.2007 | | Autor: | MontBlanc |
Hi,
naja die Näherungsfunktion gibt nicht den kompletten Verlauf der Ursprungsfunktion wieder, sondern nur einen Teil (hier einen Punkt) oder nähert sich der Funktion an (vgl. Asymptote).
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Di 27.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> boah dankeschön,habs schon fast verstanden,aber ich weoß
> nur nicht woher du die Formel l(x)=a(x-x0)+y hehast.Ist
> das ne allgemeine Formel für etwas oder hast du sie von
> einer anderen umgestellt oder wo kommt die her??^^
1. Die Funktion soll linear sein, also der Graph eine Gerade. Dann muss sie die Form [mm]l(x)=ax+b[/mm] haben.
2. Diese Gerade soll durch den Punkt [mm]P(x_0,y_0)[/mm], gehen, also [mm]l(x_0) =y_0[/mm]. Daraus ergibt sich [mm]y_0+ax_0+b[/mm].
Wenn du die letzte Gleichung nach b auflöst und in [mm]l(x)=ax+b[/mm] einsetzt ergibt sich [mm]l(x)=a(x-x_0)+y_0[/mm].
> Ach ja und ich wollt noch wissen,was hier mit gemeint ist
> "Eine lineare Annäherung an den Graphen (auch Approximation
> genannt) ist eine solche Funktion, die nur annähernd den
> Graphen wiedergibt." Also um genau zu sein,was heißt
> denn,dass sie den Graphen nur annähernd wiedergibt?Wie
> könnte man sich das denn vorstellen??
Das wollte ich dir mit den beiden Zeichnungen klarmachen: in der zweiten Zeichnung verläuft die Gerade (rot) ziemlich nahe am Graphen der Funktion (schwarz). Du kannst auch sagen, dass der Unterschied zwischen Funktion und Approximation (also die Differenz zwischen f(x) und l(x)) möglichst klein sein soll.
Wie klein, hängt von der Funktion ab, die man betrachtet.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Di 27.11.2007 | | Autor: | Mandy_90 |
ok vielen dank,habs jetzt verstanden ^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Di 27.11.2007 | | Autor: | Mandy_90 |
OK,hab jetzt verstanden wie das alles geht,aber wofür braucht man den Tangentensteigungen????
greetz^^
ok und noch eine frage is mir grad aufgefallen.Also wenn man die Formel y=ax+b umstellt ,dann kann do ch nicht b=ax-y rauskommen, sondern b=y-ax.Das sind zwei verschiedene sachen oder?^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Di 27.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn man irgendwelche Funktionen hat, die etwas bedeuten, ist es oft interessant, wo sie am stärksten steigen. etwa wenn du Benzinverbrauch in Abhängigkeit von Geschwindigkeit hast, willst du wissen wie er steigt, wenn du dein Geschwindigkeit änderst. Oder wie schnell sich ne Grippewelle ausbreitet, da ist nicht nur interessant, wie schnell es ist, sondern auch ,wie es sich ändert.
Viel benutzt wird auch, dass man komplizierte Funktionen ein Stück weit durch lineare Funktionen, also durch die Tangente Beschreiben kann. z. Bsp ist die Steigung von [mm] \wurzel{x} 1/2*\wurzel{x} [/mm] wenn du jetzt ohne TR [mm] \wurzel{101} [/mm] ausrechnen willst, sagst du : [mm] \wurzel{100}=10 \wurzel{101} [/mm] ist [mm] 10+1\(2*10)=1,05
[/mm]
ich bin einfach mit der Steigung bei 100 1 weiter gegangen. Das geht so auch noch mit komplizierteren Funktionen.
In der Schule lernt man das leider fast nur an Beispielen, wo man nicht so sieht, warum man die Steigung kennen sollte. oder überhaupt warum man sich für die Funktion selbst interessiert. Aber es gibt eben viele echte Situationen die sich durch mehr oder weniger einfache Funktionen beschreiben lassen, und da ist man dann wirklich daran interessiert wie stark sie wo steigen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Di 27.11.2007 | | Autor: | Mandy_90 |
Hey Danke für deine Antwort,ja in der Schule sagen die das halt nicht so genau,deshalb wollt ichs mal wissen. Und was ist nun mit der Formel,weil das bringt mich wirklich durcheinander????Man kann doch nicht die Formel Y=ax+b so umstellen,dass da b=ax-y rauskommt, da müsste doch b=y-ax rauskommen?????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Di 27.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Und was
> ist nun mit der Formel,weil das bringt mich wirklich
> durcheinander????Man kann doch nicht die Formel Y=ax+b so
> umstellen,dass da b=ax-y rauskommt, da müsste doch b=y-ax
> rauskommen?????
Ich weiss nicht, auf was sich die Frage bezieht. Aber du hast mit deiner Umformung recht! vielleicht hat sich irgendwo jemand verschrieben? (Auch wir machen -sogar oft- Leichtsinnsfehler.) also immer alles was dir hier jemand vorrechnet nachrechnen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:43 Di 27.11.2007 | | Autor: | Mandy_90 |
ok thnx ich hab schon gedacht,dass Ich jetzt gar nicht mehr durchblicke.Aber is ja net schlimm,wenn jemand nene FehLer macht...keiner is perfekt^^
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