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| Aufgabe | 3. Im skizzierten Baum gibt es fur jedes k ∈ N genau zwei Blatter in der
Tiefe k. Wir betrachten eine zufallige Wanderung startend in der Wurzel,
wobei von jedem Knoten in Tiefe k, der kein Blatt ist, der nachste Schritt ¨
zu einem rein zufalligen Nachbarknoten in der Tiefe k + 1 erfolgt. Sobald
ein Blatt getroffen wird, endet die Wanderung.
Es sei X das zufallige Blatt, in dem die Wanderung endet, und Y die
Tiefe von X. Mit ρ(b) bezeichnen wir die Verteilungsgewichte von X und
mit π(k) die Verteilungsgewichte von Y .
Berechnen Sie E[log3 ρ(X)] und E[log3 π(Y )]. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen, die Aufgabe um die es hier geht ist aus einer Klausur in Elementare Stochastik für Informatiker. Während der Klausur wusste ich leider gar nichts damit anzufangen und selbst jetzt in Ruhe zu Hause komme ich nicht wirklich mit ihr klar. Ich würde mich über jede Hilfestellung dazu sehr freuen.
Hier ist nochmal ein Screenshot der Aufgabe mit einer Illustration des Baumes um den es geht: [Externes Bild http://puu.sh/lsXH]
Folgendes habe ich bisher herausbekommen (ich glaube zumindest das es soweit stimmt):
Die Wahrscheinlichkeit das der Weg durch den Baum in Tiefe k endet ist:
[mm] \bruch{1}{3^{k-1}} [/mm] * [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
Zu allererst ist die WK in der ersten Ebene zu landen 2/3, mit 1/3 WK geht es weiter und dort besteht wieder die WK mit 2/3 hängen zu bleiben, also insgesamt 1/3*2/3 = 2/9 usw.
Der Erwartungswert für die Tiefe k die man erreicht sollte also folgendermaßen aussehen:
E[erreichte Tiefe] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] k [mm] *\bruch{1}{3^{k-1}} [/mm] * [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
Soweit in Ordnung? Die Folge lässt sich mit immer kleineren WK ewig fortführen, aber wird wohl gegen einen Wert um 1 herum konvergieren.
An dieser Stelle weiss ich dann nicht mehr weiter. Was genau ist hier mit Verteilungsgewichten gemeint? In unserer Vorlesung hatten wir Gewichte nur in sehr abzählbaren Fällen, zB in einem Netz mit 5 Knoten. Aber hier ist die Knotenzahl ja potentiell unendlich.
Ich weiss auch nicht wie ich damit umgehen soll das nicht nach dem Erwartungswert von Y gefragt wird sondern von log3 davon. Der 3er Logarithmus meiner Formel ist jedenfalls negativ und daher sicher nicht einfach die Lösung. Faktoren im Erwartungswert soll man ja gemäß E[cX] = c*E[X] herausziehen können, aber ich glaube das gilt hier nicht weil der Erwartungswert eine unendliche Folge ist, aber ich bin mir da auch nicht sicher.
Den Teil der Aufgabe der nach X fragt hab ich noch nicht näher betrachtet da ich da indieselbe Sackgasse kommen werden wenn es um den log im Erwartungswert und um Gewichte geht.
Könnt ihr mir auf die Sprünge helfen?
Grüße,
Markus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 23.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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