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| Aufgabe | | Es sei [mm] $\phi:\{1,...,n\}\to\{1,...,n\}$ [/mm] eine zufällig ausgewählte Permutation. Man bestimme den Erwartungswert und die Varianz für die Anzahl der Fixpunkte von [mm] \phi. [/mm] |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe komme ich nicht weiter, weil ich nicht weiß ob mein Ansatz richtig ist.
X = Anzahl der Fixpunkte von [mm] \phi.
[/mm]
Wir haben den Erwartungswert definiert als:
$E(X) = [mm] \sum_{k=0}^{n}k*P(X=k)$
[/mm]
Aber ich glaube hier bringt mir die alternative Variante
$E(X) = [mm] \sum_{k=0}^{n}P(X\ge [/mm] k)$
mehr. Ich habe mir gedacht, ich versuche die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass [mm] \phi [/mm] mindestens k Fixpunkte hat. Dazu wähle ich k feste Fixpunkte; um die aus den n Stück auszuwählen habe ich [mm] \vektor{n\\k} [/mm] Möglichkeiten (ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge).
Für die restlichen n-k Zuordnungen bleiben nun (n-k)! Möglichkeiten (da ich die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Fixpunkte berechne, brauche ich nicht zu überprüfen, ob zufällig noch mehr Fixpunkte entstehen).
Insgesam gibt es n! Möglichkeiten für die Permutationen. Also wäre die Wahrscheinlichkeit:
[mm] $\IP(X \ge [/mm] k) = [mm] \frac{\vektor{n\\k}*(n-k)!}{n!} [/mm] = [mm] \frac{1}{k!}$
[/mm]
Damit hätte ich
$E(X) = [mm] \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$.
[/mm]
Aber ich glaube das ist falsch, weil ich es nicht explizit ausrechnen kann, und jetzt ja auch noch die Varianz bestimmen soll. Daher meine Frage:
- Stimmen meine Überlegungen?
Grüße und danke für Eure Hilfe,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 16.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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