Erwartungswert und Varianz < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei X exponentialverteilt mit Parameter [mm] \lambda [/mm] > 0, Y geometrisch verteilt mit Parameter p [mm] \in [/mm] (0, 1). Seien X und Y unabhangig. Berechnen sie den Erwartungswert und die Varianz
von
(i) [mm] Z_1 [/mm] := [mm] X^{2}*Y [/mm] + XY
|
Hallo!
Wie genau muss es aussehen wenn ich den Erwartungswert berechne?
[mm] EZ_1=( \summe_{x=0}^{\infty} x*(\lambda)*exp(- \lambda *x)))^{2}
[/mm]
* [mm] \summe_{y=0}^{\infty} [/mm] y [mm] (p(1-p)^{y}
[/mm]
Ist das so richtig oder muss ich das quadrat wo anders hinschreiben?
Es wäre nett wenn ihr mir kurz helfen könntet!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Mo 21.05.2007 | | Autor: | DirkG |
Also ich würde an deiner Stelle nicht unbedingt das Rad neu erfinden wollen - sprich: Alles nochmal Tippeltappeltour von neuem zu berechnen. Nutze doch die bekannten und nachlesbaren Erwartungswert- und Varianzformeln für Exponential- und geometrische Verteilung, natürlich nach vorheriger Zerlegung des Erwartungswertes gemäß seiner linearen Eigenschaften, sowie unter Einbeziehung der Unabhängigkeit:
[mm] $$E(Z_1) [/mm] = [mm] E((X^2+X)Y)\stackrel{unabh.}{=} E(X^2+X)\cdot [/mm] E(Y) [mm] \stackrel{linear}{=} [E(X^2)+E(X)]\cdot [/mm] E(Y) .$$
[mm] $E(X^2)$ [/mm] wiederum gewinnt man sehr einfach aus der Varianzformel [mm] $\operatorname{var}(X)=E(X^2)-(E(X))^2$ [/mm] durch Umstellen.
Soweit zum Erwartungswert. Zur Varianz ist etwas mehr Rechnung nötig, gemäß [mm] $\operatorname{var}(Z_1)=E(Z_1^2)-(E(Z_1))^2$ [/mm] können wir uns auf [mm] $E(Z_1^2)$ [/mm] konzentrieren:
[mm] $$E(Z_1^2) [/mm] = [mm] E((X^2+X)^2Y^2) \stackrel{unabh.}{=} E((X^2+X)^2)\cdot E(Y^2)$$.
[/mm]
[mm] $E(Y^2)$ [/mm] wie gehabt über die Varianz von $Y$, bleibt als größter Brocken
[mm] $$E((X^2+X)^2) [/mm] = [mm] E(X^4+2X^3+X^2) [/mm] .$$
Da kommt man nun doch nicht umhin, die Momente der Exponentialverteilung unter die Lupe zu nehmen, zumindest bis zum vierten Moment... Aber jetzt mal Stop, dir will ich ja auch noch was überlassen. 
|
|
|
|
