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| Aufgabe | Seien [tex]X_{1},...,X_{n} [/tex] unabhängige Kopien der Zufallsvariablen X. Diese nimmt Werte in [tex] \IZ [/tex] an. Ferner existieren der Erwartungswert E(X) und die Varianz Var(X).
[tex]S_{n} = X_{1} + ... + X_{n} [/tex].
Zeigen sie: Falls E(X) [mm] \not= [/mm] 0, dann ist [mm] P(S_{n} [/mm] = 0 für endlich viele n) = 1. |
Aloa zusammen,
Ich brüte jetzt schon ne Weile über dieser Aufgabe. Rein vom Prinzip her ist es klar.
Wenn der Erwartungswert irgendwo links bzw. rechts von 0 liegt, und es eine Varianz gibt, dann summier ich mit [mm] S_{n} [/mm] gerade alle Werte der n unabhängigen Kopien auf, und erhalte gerade 0. Ich muss halt n nur gerade so wählen, dass die um die Varianz veränderten Erwartungswerte zusammengezogen 0 ergeben.
Also anders ausgedrückt:
Wenn ich [mm] S_{n} [/mm] betrachte kann ich diese Summe ja auch umschreiben:
[tex]S_{n} = X_{1} + ... + X_{n} = (E(X_{1}) + Var(X_{1})) + ... + (E(X_{n}) + Var(X_{n})) )[/tex]
Da die [mm] X_{i} [/mm] ja unabhängige Kopien von X sind, ist auch der Erwartungswert immer der gleiche. Somit kann ich diese Summe nochmal umschreiben:
[tex]S_{n} = X_{1} + ... + X_{n} = n*E(X) + \summe_{i=1}^{n} Var(X_{i}) [/tex]. Da die Zufallsvariable nach Voraussetzung Werte in [tex] \IZ [/tex] annehmen kann, dürfte es prinzipiell kein Problem geben. Wenn E(X) [mm] \not= [/mm] 0, dann lässt sich bestimmt ein n finden, so dass [tex]\summe_{i=1}^{n} Var(X_{i}) = - E(X) [/tex] ist.
Allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich das gescheit begründen soll. Weil so wie ich es aufgeschrieben habe, scheint mir da doch etwas zu fehlen.
Vielleicht weiß ja einer von Euch Rat?
Namárie,
sagt ein Lary, wo hofft, dass alle ein gutes Weihnachtsfest hatten, und gut ins neue Jahr rutschen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 05.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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