Erwartungswert und Varianz < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie jeweils Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung folgender Dichtefunktion
[mm] f(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t<0 \\ \alpha*e^{-\lambda*t}, & \mbox{für } t \ge 0 \end{cases}
[/mm]
Dabei sei [mm] \lambda [/mm] >0 und [mm] \alpha \in [/mm] R geeignet zu bestimmen |
Den Erwartungswert bestimme ich mit
[mm] E(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{t*f(t) dt}
[/mm]
aber wie bestimme ich [mm] \alpha [/mm] und [mm] \lambda [/mm] ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Do 25.12.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
[mm] $\lambda$ [/mm] ist fest und [mm] $\alpha$ [/mm] ist so zu bestimmen, dass [mm] $1=\int f(t)\mathrm{d}t$ [/mm] (Normierung) gilt, was wegen der Integrierbarkeit von f auch möglich ist.
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo,
[mm] 1=\int_{0}^{\infty} f(t)\mathrm{d}t=[\bruch{\alpha}{-\lambda}*e^{-\lambda*t}]_{0}^{\infty}=\bruch{\alpha}{\lambda}
[/mm]
[mm] 1=\bruch{\alpha}{\lambda}
[/mm]
[mm] \lambda=\alpha
[/mm]
kann man eig. immer die folgende Gleichung
[mm] 1=\int f(t)\mathrm{d}t
[/mm]
benutzen und eine unbekannte Konstante zu bestimmen?
> [mm]\lambda[/mm] ist fest
was genau meinst du damit? wieso muss ich [mm] \lambda [/mm] nicht bestimmen? ist [mm] \lambda [/mm] keine unbekannte ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Do 25.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo arbeitsamt,
> [mm]\lambda=\alpha[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> kann man eig. immer die folgende Gleichung
>
> [mm]1=\int f(t)\mathrm{d}t[/mm]
>
> benutzen und eine unbekannte Konstante zu bestimmen?
Schau dir die Definition einer Dichte an! Diese Eigenschaft muss
unter Anderem gelten, damit wir überhaupt von einer Dichte reden
können.
> > [mm]\lambda[/mm] ist fest
>
> was genau meinst du damit? wieso muss ich [mm]\lambda[/mm] nicht
> bestimmen? ist [mm]\lambda[/mm] keine unbekannte ?
[mm] $\lambda>0$ [/mm] (fest) sind die erwarteten Ereignisse pro Einheitsintervall.
Das spielt aber für diese Aufgabe keine besondere Rolle. Falls du
dazu mehr wissen willst, dann google mal "Exponentialverteilung".
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
Hallo,
[mm] f(t)=\alpha*e^{-\lambda*t}
[/mm]
[mm] \alpha=\lambda
[/mm]
[mm] f(t)=\lambda*e^{-\lambda*t}
[/mm]
[mm] E(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{t*f(t) dt}=\integral_{-\infty}^{\infty}{t*\lambda*e^{-\lambda*t} dt}
[/mm]
da der Funktionswert gleich Null ist für t<0, kann ich dann die Integralgrenzen ändern zu
[mm] E(x)==\integral_{0}^{\infty}{t*\lambda*e^{-\lambda*t} dt}
[/mm]
kann ich das so machen? oder muss ich das sogar so machen? (bitte auf beide fragen eingehen)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:05 Sa 27.12.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
du musst!
$ [mm] E(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{t\cdot{}\lambda\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}t} dt} [/mm] $ ist falsch, da $f(t)=0$ für negative t.
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
[mm] E(t)=\integral_{0}^{\infty}{t\cdot{}\lambda\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}t} dt}
[/mm]
[mm] E(t)=[\bruch{1}{-\lambda}e^{-\lambda*t}*t]_{0}^{\infty}+\integral_{0}^{\infty}{e^{-\lambda*t} dt}
[/mm]
[mm] =[\bruch{1}{-\lambda}e^{-\lambda*t}*t]_{0}^{\infty}+[-\bruch{1}{\lambda}e^{-\lambda*t}]_{0}^{\infty}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\lambda}
[/mm]
[mm] Var(t)=\integral_{0}^{\infty}{(t- \bruch{1}{\lambda})^2*\lambda*e^{-\lambda*t} dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{\infty}t^2*\lambda*e^{-\lambda*t}dt-\integral_{0}^{\infty}2t*e^{-\lambda*t}dt+\bruch{1}{\lambda}\integral_{0}^{\infty}e^{-\lambda*t}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\lambda^2}
[/mm]
Standardabweichung [mm] \sigma=\bruch{1}{\lambda}
[/mm]
ich soll noch die Dichtefunktion und Verteilungsfunktion zeichnen. wie mache ich das hier?
die Dichtefunktion lautet [mm] f(t)=\lambda*e^{-\lambda*t} [/mm] für [mm] t\ge [/mm] 0
wie zskizziere ich das jetzt ein wenn ich [mm] \lambda [/mm] nicht kenne?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Sa 27.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
>
> [mm]E(t)=\integral_{0}^{\infty}{t\cdot{}\lambda\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}t} dt}[/mm]
>
> [mm]E(t)=[\bruch{1}{-\lambda}e^{-\lambda*t}*t]_{0}^{\infty}+\integral_{0}^{\infty}{e^{-\lambda*t} dt}[/mm]
>
> [mm]=[\bruch{1}{-\lambda}e^{-\lambda*t}*t]_{0}^{\infty}+[-\bruch{1}{\lambda}e^{-\lambda*t}]_{0}^{\infty}[/mm]
>
>
> [mm]=\bruch{1}{\lambda}[/mm]
Nein. Richtig:
[mm] E(X)=\bruch{1}{\lambda}.
[/mm]
> [mm]Var(t)=\integral_{0}^{\infty}{(t- \bruch{1}{\lambda})^2*\lambda*e^{-\lambda*t} dt}[/mm]
>
>
> [mm]=\integral_{0}^{\infty}t^2*\lambda*e^{-\lambda*t}dt-\integral_{0}^{\infty}2t*e^{-\lambda*t}dt+\bruch{1}{\lambda}\integral_{0}^{\infty}e^{-\lambda*t}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\lambda^2}[/mm]
Nein. Richtig:
[mm] V(X)=\bruch{1}{\lambda^2}.
[/mm]
Außerdem geht das einfacher: Was ist denn die Varianz einer
Zufallsvariable in Abhängigkeit vom Erwartungswert?
> Standardabweichung [mm]\sigma=\bruch{1}{\lambda}[/mm]
>
> ich soll noch die Dichtefunktion und Verteilungsfunktion
> zeichnen. wie mache ich das hier?
>
>
> die Dichtefunktion lautet [mm]f(t)=\lambda*e^{-\lambda*t}[/mm] für
> [mm]t\ge[/mm] 0
>
>
> wie zskizziere ich das jetzt ein wenn ich [mm]\lambda[/mm] nicht
> kenne?
Zeichne die Dichte- bzw. Verteilungsfunktion zum Beispiel mit
folgenden Werten für [mm] \lambda:\quad\frac{1}{4},\quad\frac{1}{2},\quad\frac{3}{4},\quad $2\$. [/mm] Du solltest dann etwas
erkennen.
|
|
|
|
