Erwartungswert des Gewinns < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Di 03.02.2009 | | Autor: | nununu |
| Aufgabe | Beim Roulette wird eine kugel in den rouletteapparat geworfen. sie fällt in einsder 37 felder mit den zahlen 0 bis 36. Ein spieler hat ein startkapital von 150 euro. er entscheidet sich zu folgender strategie.
er beginnt mit 10 euro und setzt bei jedem spiel auf "ungerade zahl". fällt also eine ungerade zahl so erhällt er den doppelten einsatz ausgezahlt ansonsten verliert er den einsatz.
beim ersten gewinn hört er auf. Verliert er, dann verdoppelt er beim nächsten spiel den einsatz. bestimmen sie den erwartungswert des gewinns für diesen spieler. |
Soo, ich sitze nun schon seit gestern an der aufgabe und weiß nich so recht was ich damit machen soll.
habe folgende überlegungen gemacht:
wenn er ein mal spielt setzt er 10 euro und bekommt insgesamt 20 euro. das sind dann ja 10 euro gewinn.
und die wahrscheinlichkeit dafür liegt bei (18/37). weil wir haben hier ja 37 felder, 18 sind mit gerade zahlen und 18 mit ungeraden zahlen besetzt.
null fällt ja da raus (oder??).
ok und wenn er aber das erste spiel verliert macht er ja (-10) + 40 gewinn also 30 gewinn. und da müsste doch die wahrscheinlichkeit bei (18/37) *(18/37) liegen, oder?
und immer den gewinn mal die wahrscheinlichkeit heweils und das dann addieren is das der erwartungswert für den gewinn?
man muss natrülich noch weiter die möglichen gewinne ausrechenen bis er halt kein geld mehr hat, wenn er nämlich nach vier spielen verliert, hat er hja 150 euro verloren und kann nich mehr setzten. aber muss man dann einen gewinn von -150 mit einrechnen?
ich bin leicht verwirrt.
bitte helft mir!
liebe grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Di 03.02.2009 | | Autor: | Fugre |
Hallo Nununu,
Deine Idee ist ganz richtig, der Erwartungsgewinn ist die Summe der Produkte aus den einzelnen Gewinnen und ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.
[mm] E[Gewinn]=10*\bruch{18}{37}+(20-10)*\bruch{19}{37}*\bruch{18}{37}+...[/mm]
>
> wenn er ein mal spielt setzt er 10 euro und bekommt
> insgesamt 20 euro. das sind dann ja 10 euro gewinn.
> und die wahrscheinlichkeit dafür liegt bei (18/37). weil
> wir haben hier ja 37 felder, 18 sind mit gerade zahlen und
> 18 mit ungeraden zahlen besetzt.
genau
> null fällt ja da raus (oder??).
Kenne die Roulette-Regel leider auch nicht genau, das müsste man nachgucken. Ist aber auch nicht so wichtig.
> ok und wenn er aber das erste spiel verliert macht er ja
> (-10) + 40 gewinn also 30 gewinn. und da müsste doch die
> wahrscheinlichkeit bei (18/37) *(18/37) liegen, oder?
Der Gewinn ist eigentlich nur 20-10=10, da Du ja 20 einsetzt und die im Falle eines Gewinns wiederkriegst. Wenn die Gewinnwahrscheinlichkeit (18/37) ist, muss die Verlustwahrscheinlichkeit (19/37) sein, da sie sich zu 1 addieren müssen.
> und immer den gewinn mal die wahrscheinlichkeit heweils
> und das dann addieren is das der erwartungswert für den
> gewinn?
Jo
> man muss natrülich noch weiter die möglichen gewinne
> ausrechenen bis er halt kein geld mehr hat, wenn er
> nämlich nach vier spielen verliert, hat er hja 150 euro
> verloren und kann nich mehr setzten. aber muss man dann
> einen gewinn von -150 mit einrechnen?
Ja
> ich bin leicht verwirrt.
Hoffe jetzt etwas weniger 
Schöne Grüße
Nicolas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Di 03.02.2009 | | Autor: | nununu |
das klingt ja schon ma sehr cool, das heißt wohl ich hab schon geschnallt wie das so läuft mit erwartungswert und so ;)
vielen dank für die erklärungen!
ich hab jetz -0,8554 raus, stimmt das??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Di 03.02.2009 | | Autor: | dunno |
Hallo.
Ich habe es zwar nicht nachgerechnet. Aber ein negativer Erwartungswert ist genau das, was man auch intuitiv erwarten würde. Das heisst nämlich, dass man "unter dem Strich" nicht gewinnen kann beim Roulette (vorausgesetzt man spielt oft genug etc). Dies muss bei Glücksspielen so sein, da sonst die Casinos keinen Gewinn machen würden...:)
(und du müsstest dir überlegen ob du nicht lieber ins Casino als aufs Gymnasium gehen würdest, weil du ja "unter dem Strich" einen Gewinn machen würdest...;))
lg Dunno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Di 03.02.2009 | | Autor: | Fugre |
Hallo Nununu,
also Dunnos Intuition ist sehr gut. Ich habe einen kleineren Wert raus, aber am besten postest Du einfach Deinen Lösungsweg, der sollte ja nicht so lang sein.
Schöne Grüße
Nicolas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:13 Mo 09.02.2009 | | Autor: | donp |
Hallo,
Es stehen insgesamt 150€ Spielkapital zur Verfügung, und 10€ werden erstmalig eingesetzt. Bei Gewinn ist das Spiel zu Ende, bei Verlust wird solange verdoppelt, bis das Spielkapital aufgebraucht ist, was nach 4 Coups (Fachjargon für einen Kugelwurf) mit insgesamt -10-20-40-80 = -150€ Einsatz der Fall ist.
Ein Gewinn beträgt immer +10€, im einzelnen:
1. Coup: -10 Einsatz +20 Auszahlung = +10
2. Coup: -10-20 Einsatz +40 Auszahlung = +10
3. Coup: -10-20-40 Einsatz +80 Auszahlung = +10
4. Coup: -10-20-40-80 Einsatz +160 Auszahlung = +10
Die W'keit, dass ein einzelner Coup verloren wird ist [mm] $p_V [/mm] = [mm] \bruch{19}{37}.
[/mm]
Die W'keit, dass das Spiel verloren wird (4 Verluste in Folge) ist [mm] (p_V)^{4} \approx [/mm] 0.07.
Das heißt, in ca. 7% solcher Spiele sind -150€ zu erwarten (Verlust) und mit der W'keit [mm] p_G [/mm] = [mm] 1-(p_V)^{4} \approx [/mm] 0.93 (ca. 93%) sind es +10€ (Gewinn).
Der gesuchte Erwartungswert müsste die durschnittliche Anzahl € sein, die man mit dieser Strategie pro Spiel "gewinnt". Es ist ja bekannt, dass man beim Roulette auf Dauer nicht gewinnen kann. Die betrachtete Chance Ungerade z.B. gewinnt nur für 18 von 37 möglichen Ergebnissen und verliert für 19 Ergebnisse. Das Spiel ist also nicht fair, weil man zwangsläufig öfter verliert als gewinnt, so dass der Erwartungswert negativ ist.
Sei [mm]X[/mm] unsere Zufallsgröße, die [mm]n=2[/mm] Werte [mm]x_i \,(i=1,2) \in \{+10, -150\}[/mm] annehmen kann.
Die W'keiten für diese Werte sind [mm] $$P(x_1) [/mm] = [mm] p_G [/mm] = 1 - [mm] P(x_2)$$ $$P(x_2) [/mm] = [mm] p_V [/mm] = [mm] (\bruch{19}{37})^4$$ [/mm] Als  Erwartungswert ergibt sich dann [mm] $$E(X)=\summe_{i=1}^{2}x_i*P(x_i)$$ $$\Rightarrow E(X)=10*(1-p_V)-150*p_V$$ $$\gdw [/mm] E(X)= [mm] 10-10*p_V -150*p_V [/mm] $$ [mm] $$\gdw E(X)=10-(160*p_V)$$ $$\gdw [/mm] E(X) [mm] \approx [/mm] 10-11,126 = -1,126$$
Der Erwartungswert ist also tatsächlich negativ, so dass man mit dieser Strategie im Schnitt -1,126€ pro Spiel "gewinnt", d.h. 1,126€ verliert.
Gruss, Don
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Mo 13.08.2018 | | Autor: | donp |
Nachtrag: Wer jetzt meint, dass 93% Gewinnw'scheinlichkeit eine gute Chance ist, der möge sich klar machen, dass von 100 Spielen immehin 7 mit Totalverlust enden, was einen Gesamtverlust von 7*150 = 1050 Stücken bedeutet, dem aber nur ein Gewinn von 93*10 = 930 Stücken gegenübersteht.
Diese Verdoppelungsstrategie wird daher nur von Anfängern tatsächlich gespielt, und endet immer tragisch. Erfahrene Spieler drehen den Spiess um und lassen die Bank verdoppeln, indem sie Einsatz+Gewinn mehrfach hintereinander stehen lassen und so z.B. versuchen 4 mal in Folge zu gewinnen (Paroli-Spiel). Wenn das nicht klappt, ist jeweils nur der Grundeinsatz weg, im Beispiel die 10 Stücke. So hat man im Beispiel mit den 150 Stücken Spielkapital immerhin 15 Versuche.
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