Erwartungswert berechnen < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] F(X)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{<1 } \\ {0,6} & \mbox{für } \mbox{ 1 <= x < 3} \\ {0,8} & \mbox{für } \mbox{ 3 <= x < 5} \\ 1, & \mbox{für } \mbox{ 5 <= x} \end{cases} [/mm] |
Hi, bei einer Aufgabe soll man da den Erwartungswert berechnen, aber ich komm einfach nicht drauf, wie man den hier berechnet.
Falls jemand eine Idee hat, wäre ich ihm sehr dankbar.
Lg kochkessel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Di 09.02.2010 | | Autor: | abakus |
> [mm]F(X)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{<1 } \\ {0,6} & \mbox{für } \mbox{ 1 <= x < 3} \\ {0,8} & \mbox{für } \mbox{ 3 <= x < 5} \\ 1, & \mbox{für } \mbox{ 5 <= x} \end{cases}[/mm]
>
> Hi, bei einer Aufgabe soll man da den Erwartungswert
> berechnen, aber ich komm einfach nicht drauf, wie man den
> hier berechnet.
>
> Falls jemand eine Idee hat, wäre ich ihm sehr dankbar.
>
> Lg kochkessel
Hallo,
durch genaues Hinschauen sieht man, dass es sich um eine diskrete ZG handelt, die den Wert 1 mit p=0,6, den Wert 3 mit p=0,2 und den Wert 5 ebenfalls mit p=0,2 annimmt.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
Ah vielen dank, dann ist E(X)=2,2
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Di 09.02.2010 | | Autor: | gfm |
Allgemein gilt:
[mm] E(X)=\integral_\Omega X(\omega)dP(\omega)
[/mm]
durch die Subsitution [mm] \omega=X^{-1}(x) [/mm] gelangt man zur Integration im Zustandraum von X:
[mm] E(X)=\integral_{X(\Omega)}xdF_X(x)
[/mm]
[mm] F_X [/mm] ist die Verteilungsfunktion von X und definiert als
[mm] F_X(x)=P({X\le x}), [/mm] welches ein W-Maß im Zustandsraum von X definiert.
W-Maße sind endlich, daher auch [mm] \sigma [/mm] - endlich. Somit exisitert eine Zerlegung von [mm] F_X [/mm] in einen fast überall differenzierbaren Anteil, der mit einer Dichte [mm] f_X [/mm] bezüglich des normalen "dx" und eines diskreten Anteils geschrieben werden kann:
[mm] dF_X(x) [/mm] = [mm] f_X(x)dx [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\Delta_i 1_{x_i}(dx)
[/mm]
[mm] \Delta_i 1_{x_i}(dx) [/mm] ist dabei das mit [mm] \Delta_i [/mm] multiplizierte Dirac-Maß. [mm] \Delta_i [/mm] ist der Sprung den [mm] F_X [/mm] an der Stelle [mm] x_i [/mm] macht. Wenn bei der Integration das "dx über [mm] x_i [/mm] hinwegläuft" entsteht einfach der Anteil [mm] g(x_i)\Delta_i [/mm] wenn man eine Funktion g integriert.
Das kann man auch noch hübscher schreiben mit einen differenzierbaren monotonen Anteil für [mm] F_X [/mm] und einem Treppenfunktionsanteil, der besagte Sprünge an den [mm] x_i [/mm] macht.
Dein [mm] F_X [/mm] ist so eine Treppenfunktion. Somit wird aus dem Integral für den Erwartungswert die Summe über die Produkte aus [mm] x_i [/mm] und den Sprüngen.
LG
gfm
|
|
|
| |
|
Hallo,
hab hier auch noch eine Frage dazu,
wie komm ich denn auf die Werte für p von 3 und 5 ?
Hab nämlich ein ähnliches Beispiel zu rechnen und weiß nicht so richtig, wie ich das aus der Angabe herauslesen kann.
Lg, danke,
PythagorasSie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Do 13.05.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> hab hier auch noch eine Frage dazu,
> wie komm ich denn auf die Werte für p von 3 und 5 ?
> Hab nämlich ein ähnliches Beispiel zu rechnen und weiß
> nicht so richtig, wie ich das aus der Angabe herauslesen
> kann.
> Lg, danke,
> PythagorasSie
Hallo,
dann mache es mal umgedreht. Eine Zufallsgröße X nehme nur die 3 Werte 3, 7 und 10 an, und zwar mit den Wahrscheinlichkeiten 0,1; 0,7 bzw. 0,2.
Fühlst du dich in der Lage, hiervon die Funktion F(x) aufzustellen?
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
Nein, nicht wirklich .
Nehme ich immer die Differenz für p(x) zwischen zwei Werten?
Sprich, von p(x)=0 auf p(x)= [mm] \bruch{ 1 }{ 10 } [/mm]
und von [mm] \bruch{ 1 }{ 10 } [/mm] auf [mm] \bruch{ 7 }{10 } [/mm] ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
[mm] $F(x)=P(X\leq [/mm] x)$
was ist dann F(2), F(3), F(4) und F(7)?
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
Ich sitz da leider grad wirklich voll auf der leitung. Die Formel F(x)=P(X [mm] \le [/mm] x) versteh ich schon, nur weiß ich nicht wie ich auf die Zahlenwerte von p(x) komme.
Mein Beispiel geht ca. so:
Bestimmen Sie die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion px(n) für alle n [mm] \varepsilon \IN
[/mm]
F(x)= .... 0 für x<6
.... [mm] \bruch{ 1 }{ 2 } [/mm] für 6 [mm] \le [/mm] x < 7
.... 1 für x [mm] \ge [/mm] 7
und meine Lösung wäre jetz gewesen, dass ich einfach schreibe, p= [mm] \bruch{ 1 }{ 2 } [/mm] für n=6 und p= [mm] \bruch{ 1 }{ 2 } [/mm] für n=7,
weil 1- [mm] \bruch{ 1 }{ 2 } [/mm] = [mm] \bruch{ 1 }{ 2 } [/mm]
stimmt das oder wie berechne ich p(x)?
danke, lg, PythagorasSie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Cybrina |
Hallo,
du solltest dir mal klarmachen, was P und F eigentlich sind. P(x) gibt die Wahrscheinlichkeit für den Wert x an. F(x) dagegen gibt sozusagen die summierte Wkt. bis zum Wert x an, also wie hoch die Wkt. ist, dass höchstens x herauskommt.
Wenn jetzt F(x)=0 für x<6 heißt das für alle Werte <6 ist die Wkt. 0, d.h. für [mm] x\in\IN [/mm] ist p(0)=0, p(1)=0, ... p(5)=0.
Wenn [mm] F(x)=\bruch{1}{2} [/mm] für [mm] 6\leqslant [/mm] x<7, dann bedeutet das, dass [mm] p(0)+p(1)+...+p(6)=\bruch{1}{2} [/mm] und da ja alles bis p(5) 0 ist also [mm] p(6)=\bruch{1}{2}
[/mm]
Deine Aufgabe ist übrigens P für alle nat. Zahlen anzugeben, nicht nur für 6 und 7.
|
|
|
|
