Erwartungswert berechnen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie die Erwartungswerte der folgenden Zufallsvariablen X:
a) X nimmt mit der Wahrscheinlichkeit 0.5 den Wert 1 an und in der anderen Hälfte der Fälle gleichverteilt einen Wert zwischen 1 und 3. |
hallo,
und zwar frag ich mich hier, was da eigentlich gemacht werden soll.
ich hab die definition des erwartungswerts gegeben durch [mm] E(X)=\summe_{i=1}^{} x_{i}* f(x_{i})
[/mm]
zum ersten teil der aufgabe kann ich ja nun einfach die formel anwenden und erhalte dementsprechend 0,5*1
jetzt kommt in der lösung jedoch ein schritt, den ich nicht verstehe, und zwar wird nun weitergemacht, indem gesagt wird :
1*0,5 + [mm] \integral_{1}^{3}{x*\bruch{1}{4} dx}
[/mm]
hier bin ich nun absolut ratlos, wieso auf einmal integral, hat das was mit diskret bzw stetiger Zufallsvariable zu tun oder wie darf ich das verstehen ?!
unter dem integral ist auch noch ergänzt, dass "Gleichverteilung" auf [1,3] in der Hälfte der Fälle [mm] \bruch{1}{4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}
[/mm]
das weitere ausrechnen ist dann kein problem, nur darauf zu kommen ist das große problem
lg kochkessel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Fr 13.11.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag
"...und in der anderen Hälfte der Fälle gleichverteilt einen Wert zwischen 1 und 3."
In dieser anderen Hälfte handelt es sich um eine sogenannte stetige Gleichverteilung,
d.h. a l l e Werte zwischen 1 und 3 sind möglich und kein Wert fällt mehr ins Gewicht als irgendein anderer.
Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen
berechnet sich als Integral des Produkts des Wertes der Variablen und der Wahrscheinlichkeitsdichte.
Hier (in der "anderen Hälfte") ist die Dichte
konstant gleich [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm] auf dem Intervall von 1 bis 3 und
Null sonst.
So kommt $ [mm] \integral_{1}^{3}{x\cdot{}\bruch{1}{4} dx} [/mm] $ zustande,
zur Erinnering:
[mm] $\bruch{1}{4}$ [/mm] ist die (konstante) Dichte,
$x$ ist der Wert, den die Zufallsvariable im Intervall von 1 bis 3 annimmt.
Einverstanden?
Schönen Gruß
Karsten
|
|
|
| |
|
achso, vielen dank erstma
d.h. also ich muss bei der verteilung darauf achten, dass die 0 auf vorkommen kann und daher 1/4 ?
weil mein problem war darauf zu kommen, dass die dichte hier 1/4 ist, ich hätte spontan gesagt 1/3, da es ja 3 möglichkeiten gibt ?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Fr 13.11.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
a l l e Werte zwischen eins und drei sind m ö g l i c h,
der Wert 1 wird mit einer Wahrscheinlichkeit [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] angenommen,
ein Wert größer 1 und höchstens 3 auch mit der Wahrscheinlichkeit [mm] $\frac{1}{2}$,
[/mm]
insgesamt:
ein Wert midestens 1 und höchstens 3 mit Wahrscheinlichkeit 1.
Schönen Gruß
Karsten
PS: mit ein Wert größer 1 und höchstens 3 meine ich nicht jeder Wert größer 1 und höchstens 3, sondern (bloß) ein Wert größer 1 und höchstens drei
|
|
|
| |
|
Hallo James,
das geht eigentlich auch als Kopfrechnung:
In der Hälfte aller Fälle ist X=1, in der anderen
Hälfte ein beliebiger Wert aus [1;3], der einer
Gleichverteilung entstammt. Für diesen zweiten
Fall ist natürlich der Erwartungswert in der Mitte
des Intervalls, also bei 2. Insgesamt ergibt sich
$E(X)\ =\ [mm] \frac{1}{2}*1+\frac{1}{2}*2\ [/mm] =\ 1.5$
Gruß Al
|
|
|
|
