Erwartungswert berechnen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Do 28.05.2015 | | Autor: | Audin |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für die folgenden beiden Situationen jeweils $E(X)$, $E(Y)$,$V(X)$, $V(Y)$, $E(XY)$, $Cov(X,Y)$ und [mm] $\rho_{X,Y}$. [/mm]
Was können Sie über die Unabhängigkeit und die Korreliertheit von $X$ und $Y$ sagen. Begründen Sie Ihre Aussage!
Es werden zwei faire, sechsseitige Würfel geworfen. [mm] $X_{i}$,$ [/mm] i=1,2$ gebe die jeweilige geworfene Augenzahl an. Wir betrachten nun die geworfene Augensumme und die geworfene Augendifferenz, also [mm] $X=X_{1}+X_{2}$ [/mm] und [mm] $Y=X_{1}-X_{2}$. [/mm] |
Die Erwartungswerte für X,Y sehen folgendermaßen aus:
[mm] $E\left(X\right)=2\cdot\frac{1}{36}+3\cdot\frac{2}{36}+4\cdot\frac{3}{36}+5\cdot\frac{4}{36}+6\frac{5}{36}+7\cdot\frac{6}{36}+8\cdot\frac{5}{36}+9\cdot\frac{4}{36}+10\cdot\frac{3}{36}+11\cdot\frac{2}{36}+12\cdot\frac{1}{36}$
[/mm]
[mm] $=&\frac{252}{36}$
[/mm]
$=7$
[mm] $E\left(Y\right)&= \left(-5\right)\cdot\frac{1}{36}+\left(-4\right)\cdot\frac{2}{36}+\left(-3\right)\cdot\frac{3}{36}+\left(-2\right)\cdot\frac{4}{36}+\left(-1\right)\cdot\frac{5}{36}+0\cdot\frac{6}{36}+1\cdot\frac{5}{36}+2\cdot\frac{4}{36}+3\cdot\frac{3}{36}+4\cdot\frac{2}{36}+5\cdot\frac{1}{36}$
[/mm]
$=0 $
[mm] $E\left(XY\right)=&\sum_{x=2}^{10}\sum_{y=-5}^{5}\left(x\cdot y\right)\cdot P\left(X=x,Y=y\right)$
[/mm]
Und hier komme ich irgendwie nicht weiter.
Wie kann ich nun [mm] $E\left(XY\right)$ [/mm] berechnen?
Eine Möglichkeit bestünde sicher darin, für jedes einzel Ereigniss die Wkt. zu berechnen also alle [mm] P\left(X=x,Y=y\right) [/mm] und das ganze dann zu berechnen. Das scheint mir aber etwas aufwendig zu sein.
Gibt es da irgendwie eine "einfachere" bzw. bessere Lösung?
Mfg. Audin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Fr 29.05.2015 | | Autor: | hippias |
Mal angenommen es gilt $X=8$ und $Y=-2$. Was kannst Du dann ueber [mm] $X_{1}$ [/mm] und [mm] $X_{2}$ [/mm] aussagen? Verallgemeinere dies auf $X=x$ und $Y=y$. Damit laesst sich $P(X=x, Y=y)$ ganz gut berechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Fr 29.05.2015 | | Autor: | Audin |
> Mal angenommen es gilt [mm]X=8[/mm] und [mm]Y=-2[/mm]. Was kannst Du dann
> ueber [mm]X_{1}[/mm] und [mm]X_{2}[/mm] aussagen?
Dann weiss ich, dass gelten muss:
[mm] X_1=3 [/mm] und [mm] X_2=5
[/mm]
>Verallgemeinere dies auf
> [mm]X=x[/mm] und [mm]Y=y[/mm].
Allgemein wäre dann
[mm] X_1=\frac{x+y}{2}
[/mm]
[mm] X_2=\frac{x-y}{2}
[/mm]
> Damit laesst sich [mm]P(X=x, Y=y)[/mm] ganz gut
> berechnen.
So ganz sehe ich noch nicht worauf das hinauslaufen soll :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Fr 29.05.2015 | | Autor: | rmix22 |
E(X.Y)=E(x)*E(Y) gilt ja leider nur bei unabhängigen Ereignissen, aber vielleicht hilft
[mm] $X*Y=\left(X_1+X_2\right)*\left(X_1-X_2\right)=X_1^2-X_2^2$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Di 02.06.2015 | | Autor: | luis52 |
> E(X.Y)=E(x)*E(Y) gilt ja leider nur bei unabhängigen
> Ereignissen,
Auch fuer unkorrelierte *Zufallsvariablen* ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Sa 30.05.2015 | | Autor: | hippias |
> > Mal angenommen es gilt [mm]X=8[/mm] und [mm]Y=-2[/mm]. Was kannst Du dann
> > ueber [mm]X_{1}[/mm] und [mm]X_{2}[/mm] aussagen?
>
> Dann weiss ich, dass gelten muss:
>
> [mm]X_1=3[/mm] und [mm]X_2=5[/mm]
>
> >Verallgemeinere dies auf
> > [mm]X=x[/mm] und [mm]Y=y[/mm].
>
> Allgemein wäre dann
>
> [mm]X_1=\frac{x+y}{2}[/mm]
>
> [mm]X_2=\frac{x-y}{2}[/mm]
>
> > Damit laesst sich [mm]P(X=x, Y=y)[/mm] ganz gut
> > berechnen.
>
> So ganz sehe ich noch nicht worauf das hinauslaufen soll
> :/
>
Zum Beispiel darauf: Weil wir jetzt wissen, dass $(X,Y)= [mm] (8,-2)\iff (X_{1},X_{2})= [/mm] (3,5)$ gilt, folgt $P(X=8,Y=-2)= [mm] P(X_{1}=3, X_{2}=5)$; [/mm] letzteres ist ja die Wahrscheinlichkeit, dass Wuerfel $1$ eine $3$ und Wuerfel $2$ eine $5$ zeigtt, welche Wahrscheinlichkeit Du also leicht bestimmen kannst.
Wendest Du dies auf den allgemeinen Fall an, so kannst Du den Erwartungswert berechnen.
rmix' Loesungsvariante ist nateurlich geschickter, aber Dein Loesungsansatz war ja ein anderer.
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