Erwartungswert, Varianz, Wkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Di 28.06.2005 | | Autor: | Pacapear |
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Hallo.
Ich habe hier eine Hausaufgabe bis Freitag, mit der ich nicht klar komme.
hoffe ihr könnt mir helfen.
a) Ein Spieler wirft einen Würfel. Erscheint eine gerade Zahl, so gewinnt er den entsprechenden Betrag in , andernfalls verliert er den entsprechenden Betrag.
(i) Ist das Spiel günstig für den Spieler?
(ii) Bei welchem Einsatz ist das Spiel fair?
Meine Idee:
zu (i) E(x) = (-1)* [mm] \bruch{1}{6} [/mm] + [mm] 2*\bruch{1}{6} [/mm] - [mm] 3*\bruch{1}{6} [/mm] + [mm] 4*\bruch{1}{6} [/mm] - [mm] 5*\bruch{1}{6} [/mm] + [mm] 6*\bruch{1}{6} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
==> Spiel günstig, da positiver Gewinn
zu (ii) Meine Idee war, für die Einsätze -1, 2, -3, 4, -5, 6 in die Formel ein x einzusetzen und das ganze gleich Null zu setzen (0 Gewinn = fair?) und nach x aufzulösen, aber dann kommt für x Null raus...
b) Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen. Die Zufallsvariable X ordne jedem Wurf die größere (kleinere) der beiden Augenzahlen zu. Berechnen Sie Erwartungswert, Variasnz und Standardabweichung von X.
Meine Idee:
Für den Fall, das X den jeweils größeren Wert annimmt, kann X ja schonmal nicht 1 sein, und im anderen Fall nicht 6. Aber was ist wenn 2 gleiche Zahlen gewürfelt werden? Ich weiß nicht, wie ich die 3 Größen ausrechnen soll, wenn ich gar keine bekannten Werte habe, und wie oft gewürfelt wird weiß ich auch nicht.
c) Zeigen Sie, dass die Varianz der ZV X genau dann gleich Null ist, wenn X nur einen Wert a [mm] \in \IR [/mm] annimmt, wenn also X eine konstante Funktion ist.
Meine Lösung:
Var(X) = E[(X-E(X))²]
X = a [mm] \in \IR [/mm] ==> Var (a) = E[(a-E(a))²]
Der Erwartungswert einer Konstanten ist die Konstante selbts ==> Var(a) = E[(a-a)²] = E[0²] = E[0]
Der Erwartungswert einer Konstanten ist die Konstante selbts ==> Var(a) = E[0]
Richtig?
d) Wie oft muss man einen fairen Würfel mindestens werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 mindestens einmal eine 6 zu werfen?
Meine Idee:
Ich habe überlegt, es über die Binomialverteilung zu berechnen, weil da ja eine Variable n vorhanden ist für die Anzahl. Aber ich weiß nicht was ich wie ich da vorgehen muss.
e) Wie oft muss man eine fairen Münze werfen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, genau 3 mal Zahl zu werfen, am größten ist?
Meine Idee:
Wie bei Aufgabe d)
Vielen Dank im Vorraus, Nadine
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Hallo Nadine!
> a) Ein Spieler wirft einen Würfel. Erscheint eine gerade
> Zahl, so gewinnt er den entsprechenden Betrag in ,
> andernfalls verliert er den entsprechenden Betrag.
>
> (i) Ist das Spiel günstig für den Spieler?
> (ii) Bei welchem Einsatz ist das Spiel fair?
> Meine Idee:
>
> zu (i) E(x) = (-1)* [mm]\bruch{1}{6}[/mm] + [mm]2*\bruch{1}{6}[/mm] -
> [mm]3*\bruch{1}{6}[/mm] + [mm]4*\bruch{1}{6}[/mm] - [mm]5*\bruch{1}{6}[/mm] +
> [mm]6*\bruch{1}{6}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> ==> Spiel günstig, da positiver Gewinn
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zu (ii) Meine Idee war, für die Einsätze -1, 2, -3, 4, -5,
> 6 in die Formel ein x einzusetzen und das ganze gleich
> Null zu setzen (0 Gewinn = fair?) und nach x aufzulösen,
> aber dann kommt für x Null raus...
Für den Nettogewinn solltest Du bei jedem Gewinn den Einsatz x abziehen, d.h. Du bekommst jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/6 die Ergebnisse [mm] $-1-x,2-x,\ldots,6-x$. [/mm] Vielleicht probierst Du es jetzt noch mal.
> b) Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen. Die
> Zufallsvariable X ordne jedem Wurf die größere (kleinere)
> der beiden Augenzahlen zu. Berechnen Sie Erwartungswert,
> Variasnz und Standardabweichung von X.
>
> Meine Idee:
>
> Für den Fall, das X den jeweils größeren Wert annimmt, kann
> X ja schonmal nicht 1 sein, und im anderen Fall nicht 6.
> Aber was ist wenn 2 gleiche Zahlen gewürfelt werden? Ich
Wenn beide gleichgroß sind, würde ich die (zweimal) gewürfelte Zahl als Ergebnis ansehen. Interpretiere es einfach als [mm] $X=max(X_1,X_2)$, [/mm] wobei [mm] $X_i$ [/mm] die Augenzahl des $i$-ten Würfels angibt.
> weiß nicht, wie ich die 3 Größen ausrechnen soll, wenn ich
> gar keine bekannten Werte habe, und wie oft gewürfelt wird
> weiß ich auch nicht
Es wird nur einmal geworfen (sonst müsste etwas anderes da stehen). Schreib Dir einfach mal alle 36 Ergebnisse auf und bilde jeweils das Maximum (später das Minimum). Dann wirst Du die Verteilung von X erkennen. Dass 1 das Maximum ist, geht zB nur dann, wenn beide Würfel eine 1 zeigen. Die entsprechende Wkt. ist also 1/36.
> c) Zeigen Sie, dass die Varianz der ZV X genau dann gleich
> Null ist, wenn X nur einen Wert a [mm]\in \IR[/mm] annimmt, wenn
> also X eine konstante Funktion ist.
> Meine Lösung:
>
> Var(X) = E[(X-E(X))²]
>
> X = a [mm]\in \IR[/mm] ==> Var (a) = E[(a-E(a))²]
>
> Der Erwartungswert einer Konstanten ist die Konstante
> selbts ==> Var(a) = E[(a-a)²] = E[0²] = E[0]
>
> Richtig?
Ja, aber das war nur die eine Richtung. Hier musst Du Dir noch ein wenig mehr Gedanken machen.
> d) Wie oft muss man einen fairen Würfel mindestens werfen,
> um mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 mindestens einmal
> eine 6 zu werfen?
>
> Meine Idee:
>
> Ich habe überlegt, es über die Binomialverteilung zu
> berechnen, weil da ja eine Variable n vorhanden ist für die
> Anzahl. Aber ich weiß nicht was ich wie ich da vorgehen
> muss.
>
Am besten du betrachtest das Gegenereignis. Dafür kannst Du (zB über die Binomialverteilung) doch recht leicht die Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von n angeben.
Viele Grüße
Brigitte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mi 29.06.2005 | | Autor: | Pacapear |
> zu (ii)
> Für den Nettogewinn solltest Du bei jedem Gewinn den
> Einsatz x abziehen, d.h. Du bekommst jeweils mit
> Wahrscheinlichkeit 1/6 die Ergebnisse [mm]-1-x,2-x,\ldots,6-x[/mm].
> Vielleicht probierst Du es jetzt noch mal.
also:
Das das Spiel fair sein soll für einen bestimmten Einsatz, muss der Erwartungswert gleich Nul sein, denn es soll ja kein Geld gewonen werden (E(X)>0) und auch kein Geld verloren werden (E(X)<0).
0 = [mm] (-1-x)*\bruch{1}{6} [/mm] + [mm] (2-x)*\bruch{1}{6} [/mm] + [mm] (-3-x)*\bruch{1}{6} [/mm] + [mm] (4-x)*\bruch{1}{6} [/mm] + [mm] (-5-x)*\bruch{1}{6} [/mm] + [mm] (6-x)*\bruch{1}{6}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 = [mm] -\bruch{1}{6} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}x [/mm] + [mm] \bruch{2}{6} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}x [/mm] - [mm] \bruch{3}{6} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}x [/mm] + [mm] \bruch{4}{6} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}x [/mm] - [mm] \bruch{5}{6} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}x [/mm] + [mm] \bruch{6}{6} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}x
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - 1x
[mm] \gdw [/mm] x = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
D.h. bei einem Einsatz von einem halben Euro, also 50 Cent, ist das Spiel fair.
Richtig?
> b) Wenn beide gleichgroß sind, würde ich die (zweimal)
> gewürfelte Zahl als Ergebnis ansehen. Interpretiere es
> einfach als [mm]X=max(X_1,X_2)[/mm], wobei [mm]X_i[/mm] die
> Augenzahl des [mm]i[/mm]-ten Würfels angibt.
>
> Es wird nur einmal geworfen (sonst müsste etwas anderes da
> stehen). Schreib Dir einfach mal alle 36 Ergebnisse auf und
> bilde jeweils das Maximum (später das Minimum). Dann wirst
> Du die Verteilung von X erkennen. Dass 1 das Maximum ist,
> geht zB nur dann, wenn beide Würfel eine 1 zeigen. Die
> entsprechende Wkt. ist also 1/36.
Also:
Dafür das X die jeweils größere Zahl annimmt, hab ich alle Kombinationen aufgezeichnet. Dafür, dass 1 die größere Zahl ist, ist die Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{36}, [/mm] für 2 ist die WS [mm] \bruch{3}{36}, [/mm] für die 3 ist sie [mm] \bruch{5}{36}, [/mm] für die 4 ist sie [mm] \bruch{7}{36}, [/mm] für die 5 ist sie [mm] \bruch{9}{36}, [/mm] und für die 6 [mm] \bruch{11}{36}.
[/mm]
Damit ergibt sich ein Erwartungswert von 4,47, eine Varianz von 1,9993 und eine Standardabweichung von 1,414.
Richtig?
Wenn ich das selbe umgekehr dafür mache, das X den jeweils kleinsten Wert annimmt, erhalte ich folgende Ergebnisse:
Erwartungswert: 2,53
Varianz: 1,8953
Standardabweichung: 1,3767
Auch Richtig?
> c) Ja, aber das war nur die eine Richtung. Hier musst Du Dir
> noch ein wenig mehr Gedanken machen.
Was ist mir der einen und der anderen´Richtung gemeint? Warum ist der Beweis so noch nicht vollständig?
> d) Am besten du betrachtest das Gegenereignis. Dafür kannst Du
> (zB über die Binomialverteilung) doch recht leicht die
> Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von n angeben.
Richtig so:
[mm] P(X\ge1) [/mm] = 1 - P(X=0) [mm] \ge [/mm] 0,9
P(X=0) [mm] \le [/mm] 0,1
[mm] (\bruch{5}{6})^{n} \le [/mm] 0,1
n * ln [mm] (\bruch{5}{6}) \le [/mm] ln (0,1)
n [mm] \ge [/mm] 12,629
d.h. man musst mindestens 13 mal werfen.
e) Ich weiß nicht was das Gegenereignis ist.
Vielen Dank fürs Helfen.
Nadine
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Hallo nochmal!
> 0 = [mm](-1-x)*\bruch{1}{6}[/mm] + [mm](2-x)*\bruch{1}{6}[/mm] +
> [mm](-3-x)*\bruch{1}{6}[/mm] + [mm](4-x)*\bruch{1}{6}[/mm] +
> [mm](-5-x)*\bruch{1}{6}[/mm] + [mm](6-x)*\bruch{1}{6}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] 0 = [mm]-\bruch{1}{6}[/mm] - [mm]\bruch{1}{6}x[/mm] + [mm]\bruch{2}{6}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{6}x[/mm] - [mm]\bruch{3}{6}[/mm] - [mm]\bruch{1}{6}x[/mm] + [mm]\bruch{4}{6}[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{6}x[/mm] - [mm]\bruch{5}{6}[/mm] - [mm]\bruch{1}{6}x[/mm] +
> [mm]\bruch{6}{6}[/mm] - [mm]\bruch{1}{6}x[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] 0 = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - 1x
>
> [mm]\gdw[/mm] x = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> D.h. bei einem Einsatz von einem halben Euro, also 50 Cent,
> ist das Spiel fair.
> Richtig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Also:
> Dafür das X die jeweils größere Zahl annimmt, hab ich alle
> Kombinationen aufgezeichnet. Dafür, dass 1 die größere Zahl
> ist, ist die Wahrscheinlichkeit [mm]\bruch{1}{36},[/mm] für 2 ist
> die WS [mm]\bruch{3}{36},[/mm] für die 3 ist sie [mm]\bruch{5}{36},[/mm]
> für die 4 ist sie [mm]\bruch{7}{36},[/mm] für die 5 ist sie
> [mm]\bruch{9}{36},[/mm] und für die 6 [mm]\bruch{11}{36}.[/mm]
> Damit ergibt sich ein Erwartungswert von 4,47, eine Varianz
> von 1,9993 und eine Standardabweichung von 1,414.
Hm, ich komme für die Varianz auf 1.97145 und entsprechend dann auch auf eine leicht andere Standardabweichung.
> Erwartungswert: 2,53
> Varianz: 1,8953
Hier sollte wieder dieselbe Varianz wie oben herauskommen, denn es gilt ja der Zusammenhang: [mm] $min(X_1,X_2)=6-max(X_1,X_2)$ [/mm] (so kann man den Erwartungswert auch schneller bestimmen).
> > c) Ja, aber das war nur die eine Richtung. Hier musst Du
> Dir
> > noch ein wenig mehr Gedanken machen.
>
> Was ist mir der einen und der anderen´Richtung gemeint?
> Warum ist der Beweis so noch nicht vollständig?
Es stand doch in der Aufgabe ein "genau dann wenn" (so habe ich es jedenfalls in Erinnerung). Ich meine, Du hast bisher nur die Richtung gezeigt, dass aus $X=a$ folgt, dass $Var(X)=0$ gilt. Die andere Richtung hatte ich noch nicht gesehen. Aber vielleicht habe ich auch etwas übersehen.
> > d) Am besten du betrachtest das Gegenereignis. Dafür kannst
> Du
> > (zB über die Binomialverteilung) doch recht leicht die
> > Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von n angeben.
>
> Richtig so:
>
> [mm]P(X\ge1)[/mm] = 1 - P(X=0) [mm]\ge[/mm] 0,9
>
> P(X=0) [mm]\le[/mm] 0,1
>
> [mm](\bruch{5}{6})^{n} \le[/mm] 0,1
>
> n * ln [mm](\bruch{5}{6}) \le[/mm] ln (0,1)
>
> n [mm]\ge[/mm] 12,629
>
> d.h. man musst mindestens 13 mal werfen.
Prima!
>
> e) Ich weiß nicht was das Gegenereignis ist.
Ich hatte das "s.o." auch nur auf den Ansatz mit der Binomialverteilung bezogen. Schreib doch mal in Abhängigkeit von n die Wahrscheinlichkeit für X=3 auf. Diese Funktion sollst Du nun maximieren.
Viele Grüße
Brigitte
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