Erwartungswert Brownsche Beweg < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Di 30.06.2009 | | Autor: | honey |
Hallo,
für eine Ausarbeitung sitzte ich gerade an einem Beweis, bei dem ich leider den Knackpunkt nicht verstehe.
Ich muss zeigen, dass
E[mm] (\left| B(1) \right|^{-\alpha})=\int_{-\infty}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{2\pi}^d}\bruch{1}{{\left|z \right|^{\alpha}}} e^\bruch{-\left|z \right|^2}{2}\, dz [/mm]
endlich, also eine Konstante, abhängig von der Dimension d und [mm]\alpha[/mm] ist.
Für [mm] \left|z \right|^{-\alpha}\le1[/mm] wäre das Integral doch von oben durch [mm]\bruch{\wurzel{\pi}}{\wurzel{2\pi}^d}[/mm] beschränkt oder habe ich da einen Denkfehler?
Wie kann ich denn für die anderen z argumentieren?
Danke schonmal im Voraus,
honey
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:49 Mi 01.07.2009 | | Autor: | wauwau |
Also es genügt im wesentlichen zu zeigen
[mm] \integral_{1}^{n}{e^\bruch{-x^2}{2} dx} [/mm] ist gleichmäßig beschränkt für alle n
(wegen Symmetrie des Integranden und Beschränktheit des Integranden im endl. Intervall [0,1])
der integrand ist aber in [1,n] stets kleiner als
[mm]xe^\bruch{-x^2}{2}[/mm]
und das Integral über diesen integranden kannst du explizit berechnen.
Dann zeigst du das Ergebnis beschränkt ist....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Mi 01.07.2009 | | Autor: | honey |
Hi und Danke für die Antwort.
Dass für
[mm]\left| z \right|^{-\alpha}\le1[/mm] also für [mm]\left| z \right|\ge1[/mm] das Integral beschränkt ist war mir klar. Wie zeige ich es denn für das Intervall [-1,1] bzw aus Symmetriegründen [0,1] ?
Lg honey
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Mi 01.07.2009 | | Autor: | wauwau |
wenn, was sicher der Fall ist
[mm]0 \le \alpha < 1 [/mm] gilt, kannst du den Integranden ja in [0,1] durch
[mm] C.z^{-\alpha}[/mm] mit geeignetem C
abschätzen
ist [mm] \alpha [/mm] größer 1 geht in diesem Intervall die Endlichkeit flöten
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mi 01.07.2009 | | Autor: | honey |
Hi,
leider ist [mm]0<\alpha<2[/mm]
Lg honey
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Mi 01.07.2009 | | Autor: | wauwau |
dann ist das Integral in [0,1] aber nicht mehr beschränkt, da die Abschätzung von vorher nach Integration was Unlimitiertes liefert..
|
|
|
|
