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Hallo
[mm] E_{B(n,p)}(id_{\IN_n^0}) [/mm] (1)
=
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k [mm] \vektor{n \\ k}p^k(1-p)^{n-k} [/mm] (2)
=
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] np [mm] \vektor{n-1 \\ k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-1-(k-1)} [/mm] (3)
=
np;
denn nach dem binomischen Lehrsatz gilt
[mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n-1 \\ k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-1-(k-1)}
[/mm]
=
[mm] \summe_{k'=0}^{n'} \vektor{n' \\ k'}p^{k'}(1-p)^{n'-k'} [/mm] = 1,
wo n' := n-1 ist.
Ich blick bei der Umstellung leider nicht durch. Was geht hier vor sich? Kann mir das einer erklären? Vor allem, wie zwischem dem 2. und 3. Schritt das k zu np geworden ist?
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Es sieht nur so aus, als ob k zu np wird, aber das p kommt daher: [mm]p^k = p*p^{k-1}[/mm]. Außerdem gilt:
[mm]k * \vektor{n \\ k} = k * \bruch{n!}{k!(n-k)!} = \bruch{n*(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = n * \bruch{(n-1)!}{(k-1)!(n-1 -[k-1])!} = n * \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm]
Jetzt alles schön zusammenbasteln und's passt.
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Ok, danke, das kapier ich. Und noch eine Frage:
Müsste (2) nicht statt
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k [mm] \vektor{n \\ k}p^k(1-p)^{n-k}
[/mm]
nicht eigentlich lauten:
[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k [mm] \vektor{n \\ k}p^k(1-p)^{n-k}?
[/mm]
Also, mir ist ja klar, dass der Summand durch den Nullfaktor sowieso rausfallen würde, aber wäre das nicht die eigentlich akurate Formel?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 So 24.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo sancho!
Du hast Recht mit Deinem Ansatz! Aber wie Du auch schon selber erkannt hast, fällt der Summand für $k \ = \ 0$ weg.
Gruß
Loddar
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