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Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:46 Di 26.03.2013
Autor: melodie

hallo,

ich habe eine standartnormalverteilte Zufallsvariable X mit der Abbildung g: [mm] \IR \to \IR [/mm]
und
g(x)= |x|+4  mit [mm] x\in \IR [/mm]


gesucht ist :

1. [mm] P(g(x)\le [/mm] 4.4)

offizieller Lösungsweg:

[mm] \integral_{g(x)\le 4.4}{f_X(x) dx} [/mm]  =  [mm] \integral_{-0.4}^{0.4}{f_X(x) dx} =2\phi [/mm] (0.4) -1 = 0,3108

ich verstehe nicht, wie man auf die Grenzen 0.4 und -0.4 kommt und wie daraus [mm] 2\phi [/mm] (0.4) - wird.





2. E(g(x)) = [mm] \integral_{\IR}{g(x)f_X(x) dx}= \integral_{\IR}{(|x|+4)(\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} ) *e ^{\bruch{-x^2}{2}}dx} [/mm]

= [mm] (\bruch{2}{\wurzel{2\pi}} [/mm] ) [mm] \integral_{0}^{infty}{xe ^{\bruch{-x^2}{2}}dx} [/mm] +4


[mm] (\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} )e^{\bruch{-x^2}{2}} [/mm] wird aus einer Tabelle abgelesen, nehme ich an?

warum wurden im letzten Schritt die Grenzen o und unendlich genommen und wie komme ich hier auf den Vorfaktor [mm] (\bruch{2}{\wurzel{2\pi}} [/mm] ) ?

        
Bezug
Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:13 Di 26.03.2013
Autor: MathePower

Hallo melodie,

> hallo,
>  
> ich habe eine standartnormalverteilte Zufallsvariable X mit
> der Abbildung g: [mm]\IR \to \IR[/mm]
>  und
>  g(x)= |x|+4  mit [mm]x\in \IR[/mm]
>  
>
> gesucht ist :
>  
> 1. [mm]P(g(x)\le[/mm] 4.4)
>  
> offizieller Lösungsweg:
>
> [mm]\integral_{g(x)\le 4.4}{f_X(x) dx}[/mm]  =  
> [mm]\integral_{-0.4}^{0.4}{f_X(x) dx} =2\phi[/mm] (0.4) -1 = 0,3108
>  
> ich verstehe nicht, wie man auf die Grenzen 0.4 und -0.4
> kommt und wie daraus [mm]2\phi[/mm] (0.4) - wird.
>  


Aus [mm]g\left(x\right)=\vmat{x}+4 \le 4.4[/mm] folgt [mm]\vmat{x} \le 0.4[/mm]
und daraus folgt für [mm]x < 0: x \ge -0.4[/mm] und  für [mm]x \ge 0: x \le 0.4[/mm]

Die Auswertung des Integrals ergibt: [mm]\phi\left(0.4\right)-\phi\left(-0.4\right)[/mm]

Aus Symmetriegründen folgt [mm]\phi\left(-0.4\right)=1-\phi\left(0.4\right)[/mm]

Daraus ergibt sich dann: [mm]2\phi(0.4) -1[/mm]


>
>
>
>
> 2. E(g(x)) = [mm]\integral_{\IR}{g(x)f_X(x) dx}= \integral_{\IR}{(|x|+4)(\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} ) *e ^{\bruch{-x^2}{2}}dx}[/mm]
>  
> = [mm](\bruch{2}{\wurzel{2\pi}}[/mm] ) [mm]\integral_{0}^{infty}{xe ^{\bruch{-x^2}{2}}dx}[/mm]
> +4
>  
>
> [mm](\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} )e^{\bruch{-x^2}{2}}[/mm] wird aus
> einer Tabelle abgelesen, nehme ich an?
>  


Wenn das die Stammfunktion des Integranden ist,
dann kannst Du auf diese via Substitution kommen.


> warum wurden im letzten Schritt die Grenzen o und unendlich
> genommen und wie komme ich hier auf den Vorfaktor
> [mm](\bruch{2}{\wurzel{2\pi}}[/mm] ) ?


Aus der Symmetrie der Funktion g(x).


Gruss
MathePower

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