Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:25 So 11.07.2010 | | Autor: | Hanz |
| Aufgabe | | Es seien X und Y unabhängige und jeweils gleichverteilt auf dem Intervall (0,1]. Bestimme den Erwartungswert von Y/(1+X²) sowie von YX²/(1+X²). |
Hallo,
also der erste Erwartungswert ging ja:
[mm] E(\bruch{Y}{1+X^2}) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{\bruch{y}{1+x^2} dy dx}} [/mm] = [mm] \pi/8
[/mm]
So, der zweite ist da etwas schwieriger:
[mm] E(\bruch{YX^2}{1+X^2}) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{\bruch{yx^2}{1+x^2} dy dx}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \integral_{0}^{1}{\bruch{x^2}{1+x^2} dx} [/mm] = .... jetzt weiss ich nicht wie man diese Funktion im Integral aufleiten soll...
Alternativ steht in der Lösungskizze:
Wegen YX²/(1+X²) = Y-Y/(1+X²) folgt [mm] E(\bruch{YX^2}{1+X^2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{8}
[/mm]
Diesen Sachverhalt kann ich leider nicht nachvollziehen :s
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 So 11.07.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Hanz,
Deine Rechnungen sind soweit okay. Bei der Lösung des zweiten Integrals musste auch ich einen Blick in den Bronstein werfen. Dort wird zweimal substituiert und man bekommt
$$ [mm] \int \bruch{x^2}{1+x^2} \, [/mm] dx = x - [mm] \int \bruch{1}{1+x^2} \, [/mm] dx $$
und das zweite Integral ergibt den Arcustangens, also insgesamt
$$ [mm] \int \bruch{x^2}{1+x^2} \, [/mm] dx = x - [mm] \arctan [/mm] x $$ und das in den von Dir angegebenen Grenzen.
Mit dem Faktor 1/2 kommt man auf das unten angegebene Ergebnis.
Dort wurde recht geschickt eine 0 im Zähler addiert und dann ausgeklammert, aber ich muss schon zugeben, dass man da nicht ganz so einfach draufkommt.
$$ [mm] \bruch{y+yx^2-y}{1+x^2} [/mm] = [mm] \bruch{y(1+x^2) - y}{1+x^2}= [/mm] y - [mm] \bruch{y}{1+x^2} [/mm] $$
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 So 11.07.2010 | | Autor: | Hanz |
Dankeschön :)
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