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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Fr 13.06.2008 | | Autor: | doener |
Sei X eine nicht-negative, stetige zufallsvariable. man soll nun zeigen, dass
E[X] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{Pr(X>x) dx}.
[/mm]
Nun gibts dazu folgende erklärung:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{Pr(X>x)} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{(1-F_{X}(x))} [/mm] =
[mm] \integral_{0}^{\infty}\integral_{x}^{\infty}{f_{X}(t) dt dx} [/mm]
das ist mir noch klar, man setzt einfach die verteilungsfunktion und deren definition ein.
nun gehts aber weiter:
[mm] \integral_{0}^{\infty}\integral_{x}^{\infty}{f_{X}(t) dt dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{\Bigg(\integral_{0}^{t}{dx}\Bigg)f_{X}(t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{t f_{X}(t) dt}
[/mm]
wobei der letzte ausdruck natürlich die definition eines erwartungswertes ist. ich habe probleme mit der umformumg [mm] \integral_{0}^{\infty}\integral_{x}^{\infty}{f_{X}(t) dt dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{\Bigg(\integral_{0}^{t}{dx}\Bigg)f_{X}(t) dt} [/mm] .
was macht man hier?
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> Sei X eine nicht-negative, stetige zufallsvariable. man
> soll nun zeigen, dass
> E[X] = [mm]\integral_{0}^{\infty}{Pr(X>x) dx}.[/mm]
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> Nun gibts dazu folgende erklärung:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{Pr(X>x)} =
\integral_{0}^{\infty}{(1-F_{X}(x))} =
\integral_{0}^{\infty}\integral_{x}^{\infty}{f_{X}(t) dt dx}[/mm]
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> das ist mir noch klar, man setzt einfach die
> verteilungsfunktion und deren definition ein.
>
> nun gehts aber weiter:
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> [mm]\integral_{0}^{\infty}\integral_{x}^{\infty}{f_{X}(t) dt dx} = \integral_{0}^{\infty}{\Bigg(\integral_{0}^{t}{dx}\Bigg)f_{X}(t) dt} =\integral_{0}^{\infty}{t f_{X}(t) dt}[/mm]
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> wobei der letzte ausdruck natürlich die definition eines
> erwartungswertes ist. ich habe probleme mit der umformumg
> [mm]\integral_{0}^{\infty}\integral_{x}^{\infty}{f_{X}(t) dt dx} = \integral_{0}^{\infty}{\Bigg(\integral_{0}^{t}{dx}\Bigg)f_{X}(t) dt}[/mm]
> .
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> was macht man hier?
Vielleicht hätte es geholfen, noch einen Zwischenschritt hinzuschreiben:
[mm]\integral_{0}^{\infty}\integral_{x}^{\infty}{f_{X}(t) dt dx} = \blue{\integral_0^\infty \integral_0^t f_X(t)\; dx\; dt} = \integral_{0}^{\infty}{\Bigg(\integral_{0}^{t}{dx}\Bigg)f_{X}(t) dt}[/mm]
Beim Übergang von links nach rechts zum mittleren Integral siehst Du, dass nur die Integrationsreihenfolge vertauscht wurde. Weil aber [mm] $f_X(t)$ [/mm] von $x$ nicht abhängt, konnte dann das Integral bezüglich $dx$ dann zu [mm] $\int_0^t\;dx$ [/mm] "zusammengezogen" werden.
Skizziere doch einmal rasch, in einem $x-t$ Koordinatensystem, den Integrationsbereich (=Teilfläche dieser Koordinatenebene, d.h. des [mm] $\IR^2$) [/mm] für das linke und dann noch für das mittlere Integral: es handelt sich um dieselbe Fläche.
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