Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Mo 03.01.2005 | | Autor: | Phlipper |
Berechnen Sie [mm] EX^{n} [/mm] (Erwartungswert) für n [mm] \in [/mm] N und eine N(0; 1)-verteilte zufällige Größe X.
Keine Ahnung, wie ich da rangehen soll. Würde mich über einen Tipp freuen !
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Hallo Phlipper!
> Berechnen Sie [mm]EX^{n}[/mm] (Erwartungswert) für n [mm]\in[/mm] N und eine
> N(0; 1)-verteilte zufällige Größe X.
> Keine Ahnung, wie ich da rangehen soll. Würde mich über
> einen Tipp freuen !
Ich habe Dich doch schon mal darauf hingewiesen, dass Du mal ein paar Ansätze dazu aufschreiben solltest. Du bist Mathematik-Student. Da wird Dir doch hoffentlich einfallen, wie man so einen Erwartungswert ausrechnet. Zumindest für $n=1$ und $n=2$ solltest Du keine Probleme haben (auch ohne Rechnen). Für allgemeines $n$ solltest Du mit partieller Integration auf eine rekursive Formel kommen, aus der sich der Rest ergibt.
Gruß
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 03.01.2005 | | Autor: | Phlipper |
also die Formel für die Standartnormalverteilung ist f(x) = 1/ [mm] \wurzel{2pi}* e^{- x^{2}/2}.
[/mm]
Ich weiß nicht,wie ich [mm] EX^{n} [/mm] interpretieren soll,ich war auch nicht da. Also für n=1 dürfte sich an der Formel nichts ändern.
E(X) = [mm] \integral_{- \infty}^{ \infty} [/mm] {x*f(x) dx} ist doch die Formel für Erwartungswert. Bitte noch eine kleine Hilfe,ich muss den Kram übermorgen abgeben und ich bin erkältet,bin deshalb nicht an der Uni.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Mo 03.01.2005 | | Autor: | Brigitte |
Hallo nochmal!
> also die Formel für die Standartnormalverteilung ist f(x) =
> 1/ [mm]\wurzel{2pi}* e^{- x^{2}/2}.
[/mm]
> Ich weiß nicht,wie ich
> [mm]EX^{n}[/mm] interpretieren soll,ich war auch nicht da. Also für
> n=1 dürfte sich an der Formel nichts ändern.
>
> E(X) = [mm]\integral_{- \infty}^{ \infty}[/mm] {x*f(x) dx} ist doch
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> die Formel für Erwartungswert. Bitte noch eine kleine
> Hilfe,ich muss den Kram übermorgen abgeben und ich bin
> erkältet,bin deshalb nicht an der Uni.
Und die Formel für den Erwartungswert von [mm] $X^n$ [/mm] ist entsprechend
[mm][mm] E(X^n) [/mm] = [mm]\integral_{- \infty}^{ \infty} x^n \cdot f(x) dx [/mm]
Existiert $E(h(X))$, gilt allgemein für stetige Funktionen $h$
[mm]E(h(X)) = [mm]\integral_{- \infty}^{ \infty} h(x) \cdot f(x) dx [/mm]
Nun solltest Du durchstarten können.
Gruß
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Do 06.01.2005 | | Autor: | Phlipper |
Danke Brigitte für die Starthilfe.
Also ich habe jetzt herausbekommen, dass [mm] EX^{n} [/mm] für alle n ungerade gleich Null ist.
Für gerade n erhalte ich: (i ungerade)
[mm] \summe_{i=1}^{n} -t^{n-i} e^{ t^{2}/2}
[/mm]
Reicht das als Lösung ? Oder habe ich etwas vergessen, wäre dankbar, wenn du mir nochmal ein kurzes Feedback gibst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Brigitte |
Hallo Phlipper!
> Danke Brigitte für die Starthilfe.
> Also ich habe jetzt herausbekommen, dass [mm]EX^{n}[/mm] für alle
> n ungerade gleich Null ist.
> Für gerade n erhalte ich: (i ungerade)
> [mm]\summe_{i=1}^{n} -t^{n-i} e^{ t^{2}/2}[/mm]
Das ist komisch, dass hier noch $t$ auftaucht. Meinst Du nicht?
> Reicht das als
> Lösung ? Oder habe ich etwas vergessen, wäre dankbar, wenn
> du mir nochmal ein kurzes Feedback gibst.
Also mit partieller Integration erhält man doch:
[mm]E(X^n)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} x^ne^{-x^2/2}\,dx=
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} x^{n-1}\cdot x e^{-x^2/2}\,dx[/mm]
[mm]=\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}} x^{n-1}\cdot (-e^{-x^2/2})\right]_{-\infty}^{\infty}
-\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} (n-1)x^{n-2}\cdot (- e^{-x^2/2})\,dx[/mm]
[mm]=0+(n-1)E(X^{n-2}).[/mm]
Kannst Du nun angeben, was das für gerades $n$ bedeutet?
Viele Grüße
Brigitte
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