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Diese Aufabe stammt aus einem freiwilligen Übungsblatt ener Stochastikvorlesung (Uni-Frankfurt)
Ein Betrunkener hat N Schlüssel am Bund, von denen genau einer passt. Er probiert die Schlüssel zufällig aus. Wie oft muss er im Mittel probieren, bis er den richtigen gefunden hat, wenn er nach jedem Fehlversuch
a) von allen N Schlüsseln wieder jeden mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausprobiert,
b) diesen ungeeigneten Schlüssel wegwirft und aus den restlichen jeden mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausprobiert?
für die Aufgabe b) bin ich darauf gekommen:
[mm] \bruch{1}{\bruch{1}{n}\summe_{k=o}^{n-1}\bruch{1}{n-k}}
[/mm]
Ich bin aber absolut nicht sich ob das stimmen kann.
Ich bedanke mich schonmal vorab für Hinweise
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Mi 16.05.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Fellfrosch,
a) Sei $X$ die Anzahl der Fehlversuche, bevor der Schluessel passt. Dann
kann $X$ die Werte 0,1,2,... annehmen. Dann gilt (Unabhaengigkeit
vorausgesetzt): [mm] $P(X=x)=(1-1/N)^x(1/N)$. [/mm] Das ist die
Wahrscheinlichkeitsfunktion einer geometrischen Verteilung. Fuer Sie gilt
[mm] $\mbox{E}[X]=(1-1/N)/(1/N)=N-1$.
[/mm]
b) Sei $X$ die Zahl des Zuges, wo der passende Schluessel gezogen wird.
Dann kann $X$ die Werte 1,2,...,$N$ annehmen. Es ist intuitiv
einleuchtend, dass keiner der Werte von $X$ irgendwie bevorzugt wird, so
dass gilt $P(X=x)=1/N$, $x=1,2,...,N$. Das ist eine diskrete
Gleichverteilung, so dass folgt [mm] $\mbox{E}[X]=(N+1)/2$.
[/mm]
lg
Luis
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