Erwartungstreue eines MLS < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Merkmal besitze eine Verteilung mit der Dichte
[mm] f_{\nu}(t)=\begin{cases} \nu * t^{\nu-1}, & \mbox{für } t \in (0,1) \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}
[/mm]
mit dem unbekannten Parameter [mm] \nu \ge [/mm] 1. Der Parameter [mm] \nu [/mm] soll aufgrund der unabhängigen
Stichprobe x = [mm] (x_1, \dots, x_n) [/mm] mit [mm] x_i \in [/mm] (0, 1), i = [mm] 1,\dots, [/mm] n, geschätzt werden.
a) Zeigen Sie: [mm] \hat{\nu} [/mm] ist ein Maximum-Likelihood-Schätzer für [mm] \nu, [/mm] wobei:
x [mm] \mapsto \hat{\nu}(x) [/mm] = - [mm] \bruch{n}{\summe_{i=1}^{n}log(x_j)}
[/mm]
b) Ist der Maximum-Likelihood-Schätzer aus a) erwartungstreu für [mm] \nu?
[/mm]
Hinweis: Ist Y ~ [mm] Exp(\nu), [/mm] so hat [mm] e^{-Y} [/mm] die Dichte [mm] f_\nu [/mm] |
Bin beim Aufgabenteil b) etwas am verzweifeln, die a) hab ich hinbekommen.
Meine Rechnung bisher:
[mm] E\hat{\nu}(x) [/mm] = [mm] \IE \left(- \bruch{n}{\summe_{i=1}^{n}log(x_j}\right) [/mm] = - n * E [mm] \left(\bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}log(x_j)}\right)
[/mm]
Nun kommt der Hinweis zu Hilfe, Gedankengang:
Y ~ [mm] Exp(\nu), X_i [/mm] = e^-Y
=> Y = - [mm] log(X_i)
[/mm]
=> [mm] -log(X_i) [/mm] ~ [mm] Exp(\nu) [/mm] = [mm] \Gamma(1,\nu)
[/mm]
=> [mm] -\summe_{i=1}^{n}log(x_j) [/mm] = [mm] \Gamma(n,\nu)
[/mm]
Ab hier komme ich einfach nicht weiter.
Ich weiß nun die Verteilung des Nenners vom Bruch, dessen Erwartungswert ich haben möchte.
Einfach "reinziehen" kann gefühltermaßen nicht richtig sein.
Also, wie komme ich nun weiter?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Mi 30.01.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin,
M.E. stest du kurz vor dem Ziel. Bezeichne $g$ die Dichte der $ [mm] \Gamma(n,\nu) [/mm] $-Verteilung. Dann ist
[mm] $E[\hat\nu]=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t}g(t)\,dt$ [/mm] ...
vg Luis
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Hallo luis52, erstmal vielen Dank für deine Antwort! :)
Ich habe noch eine weitere Frage. Zuerst jedoch mein weiteres Vorgehen, um sicherzugehen, dass ichs verstanden habe:
Der Schritt den du gezeigt hast, welcher mir noch fehlt, ist quasi einfach nur die Anwendung der ![[]](/images/popup.gif) Rechenregel, dass:
E(f(X)) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) * g_X(x) dx}
[/mm]
wobei in meinem Fall hier f(x) = 1/x und [mm] g_X(x) [/mm] die Dichte der [mm] \Gamma(n,\nu)-Verteilung [/mm] ist.
Es gilt also:
E(f(X)) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) * g_X(x) dx} =\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{x} * \bruch{\nu^n}{\Gamma(n)} * x^{n-1}*e^{-\nu * x} dx} [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{ \bruch{\nu^n}{\Gamma(n)} * x^{n-2}*e^{-\nu * x} dx} [/mm] = = [mm] \bruch{\nu}{\nu}*\integral_{-\infty}^{\infty}{ \bruch{\nu^n}{\Gamma(n-1) * (n-1)} * x^{n-2}*e^{-\nu * x} dx} [/mm] = [mm] \bruch{\nu}{(n-1)}*\integral_{-\infty}^{\infty}{ \bruch{\nu^{n-1}}{\Gamma(n-1)} * x^{n-2}*e^{-\nu * x} dx}
[/mm]
Das letzte Integral ist ein Integral über die Dichtefunktion der [mm] \Gamma(n-1,\nu)-Verteilung [/mm] und nach Definition der Dichtefunktionen gleich 1.
Nun habe ich ganz am Anfang des Themas fälschlicherweise ein -n aus dem Erwartungswert herausgezogen.
Richtig wäre gewesen, nur das n, ohne negatives Vorzeichen rauszuziehen, da die Summe im Nenner nur mit diesem Vorzeichen die oben genannte [mm] \Gamma(n, \nu)-Verteilung [/mm] hat.
Wenn man nun alles zusammenschreibt steht also dort:
[mm] E(\hat{\nu}(x)) [/mm] = n * [mm] \bruch{\nu}{(n-1)} [/mm] = [mm] \nu [/mm] * [mm] \bruch{n}{(n-1)} [/mm]
Mit was genau muss ich nun diesen eben berechneten Wert vergleichen, um zum Schluss zu kommen, dass der Schätzer nicht erwartungstreu ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Do 31.01.2013 | | Autor: | luis52 |
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> Mit was genau muss ich nun diesen eben berechneten Wert
> vergleichen, um zum Schluss zu kommen, dass der Schätzer
> nicht erwartungstreu ist?
Mit [mm] $\nu$. [/mm] Du siehst, dass [mm] $\hat\nu$ [/mm] nicht erwartungstreu ist, denn [mm] $E[\hat\nu]\ne\nu$. [/mm] Wegen [mm] $E[\hat\nu]>\nu$ [/mm] ueberschaetzt [mm] $\hat \nu$ [/mm] den Parameter. Er ist aber asymptotisch erwartunsgtreu, [mm] d.h.$\lim_{n\to\infty}E[\hat\nu]=\nu$.
[/mm]
vg Luis
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