Erwartete Dauer von bubbles < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 So 17.04.2005 | | Autor: | Hans23 |
Hallo zusammen.
Ich studiere Wirtschaft und bin gerade dabei eine Seminararbeit zu verfassen. Die Arbeit behandelt Spekulationsblasen in Aktienkursen, wie z.B. die Nemax Blase im Jahr 2000. Die mir zugrunde liegende Literatur ist sehr theoretisch und nur mit wenigen Herleitungen versehen. Nun zum Thema:
Das Grundproblem ist , wie man von Wahrscheinlichkeiten auf die erwartete Dauer einer Blase schliessen kann. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Blase in der nächsten Peridoe " t+1" platzt sei [mm] \pi [/mm] . Laut dem Text ergibt sich die erwartete "Lebens-"Dauer der Blase dann als [mm] \bruch{1}{ \pi} [/mm] .Dieser Zusammenhang sit mir nicht klar.
Klar ist mir, dass wenn die Platzw´keit [mm] \pi [/mm] beträgt, dann die Nichtplatzw´keit 1 - [mm] \pi [/mm] beträgt. Somit ergibt die w´keit fürs Platzen in Peridoe "t+3" als (1- [mm] \pi)^2 [/mm] [mm] \times \pi [/mm] . Die Blase dauert dann eben 3 Perioden an.
Die W´keit fürs Platzen in Periode "t+j" ergibt sich dann als: (1- [mm] \pi)^{j-1} [/mm] [mm] \times \pi [/mm] . Diese Blase dauert dann j Perioden an.
Somit müsste sich doch die erwartete Dauer einer Blase ergeben als:
[mm] \summe_{j=1}^{ \infty} [/mm] j [mm] \times(1- \pi)^{j-1} [/mm] [mm] \times \pi
[/mm]
Wie kommt man dann bitte auf das Ergebnis, dass die Blase eine erwartete Lebensdauer von
[mm] \bruch{1}{ \pi} [/mm] hat??
Für Eure Hilfe wäre ich sehr dankbar. Hans23
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Johannes!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Das Grundproblem ist , wie man von Wahrscheinlichkeiten
> auf die erwartete Dauer einer Blase schliessen kann. Die
> Wahrscheinlichkeit, dass eine Blase in der nächsten Peridoe
> " t+1" platzt sei [mm]\pi[/mm] . Laut dem Text ergibt sich die
> erwartete "Lebens-"Dauer der Blase dann als [mm]\bruch{1}{ \pi}[/mm]
> .Dieser Zusammenhang sit mir nicht klar.
> Klar ist mir, dass wenn die Platzw´keit [mm]\pi[/mm] beträgt, dann
> die Nichtplatzw´keit 1 - [mm]\pi[/mm] beträgt. Somit ergibt die
> w´keit fürs Platzen in Peridoe "t+3" als (1- [mm]\pi)^2[/mm]
> [mm]\times \pi[/mm] . Die Blase dauert dann eben 3 Perioden an.
> Die W´keit fürs Platzen in Periode "t+j" ergibt sich dann
> als: (1- [mm]\pi)^{j-1}[/mm] [mm]\times \pi[/mm] . Diese Blase dauert
> dann j Perioden an.
>
> Somit müsste sich doch die erwartete Dauer einer Blase
> ergeben als:
> [mm]\summe_{j=1}^{ \infty}[/mm] j [mm]\times(1- \pi)^{j-1}[/mm]
> [mm]\times \pi[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") völlig richtig. Hier gibt es zwei Möglichkeiten weiterzumachen. Entweder Du erkennst/glaubst, dass hier die sogenannte geometrische Verteilung vorliegt und diese als Erwartungswert genau den Kehrwert der "Erfolgswahrscheinlichkeit" (hier Wkt. für Platzen) besitzt, oder - und ich habe den Eindruck, dass das für Dich eher hilfreich ist - wir rechnen die Reihe einfach aus:
Für die geometrische Reihe gilt ja (mit 0<p<1)
[mm]\sum\limits_{j=0}^\infty p^j=\frac{1}{1-p}.[/mm]
Differenziert man nun auf beiden Seiten nach p, ergibt sich
[mm]\sum\limits_{j=1}^\infty j\cdot p^{j-1}=-\frac{1}{(1-p)^2}\cdot (-1)=\frac{1}{(1-p)^2}.[/mm]
(Der Summand für j=0 ist ja ohnehin 0.)
Verwendet man dieses Ergebnis mit [mm] $p=1-\pi$, [/mm] folgt aus obiger Formel
[mm]\summe_{j=1}^{ \infty} j \cdot (1- \pi)^{j-1}\cdot \pi=\pi\summe_{j=1}^{ \infty} j \cdot (1- \pi)^{j-1}=\pi\cdot \frac{1}{\pi^2}=\frac{1}{\pi}.[/mm]
Viele Grüße
Brigitte
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