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Erwart.wert. stoch. unabh. var: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:44 So 03.06.2007
Autor: Rahul_N

Aufgabe
[mm] X_{1}, [/mm] ..., [mm] X_{n} [/mm] seien identisch verteilte Zufallsvariablen, deren gemeinsame Dichte in das Produkt der Marginaldichten faktorisiert, d.h.

[mm] f_{X_1,...,X_n} (x_1,...,x_n) [/mm] = [mm] f_{X_1}*...*f_{X_n}(x_n) [/mm]

(Stochastische Unabhängigkeit) Zeigen Sie, dass dann gilt:

[mm] E(\frac{X_{1}}{X_{1}+...+X{n}}) [/mm] = 1/n

viele Dank schonmal...

Hallo allebeisamen

Oben steht die Frage und ich wäre euch echt dankbar, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte. Ich sitze schon seid ein Paar Stunden daran ohne weiterzukommen.

[mm] E(\frac{X_1}{(X_1+....X_n)}) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{x_1}{(x_1+....x_n)}f(x_1) * ... f(x_n) dx_1 .... dx_n} [/mm]

leider kann ich den Bruch nicht so vereinfachen dass es ein Produkt oder Summe aus unabhängigen Zufallsvariablen wird. Das problem ist, dass im Nenner auch ein [mm] x_1 [/mm] steht....

        
Bezug
Erwart.wert. stoch. unabh. var: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 Mo 04.06.2007
Autor: luis52

Moin Rahul,

damit du mit der Berechnung des Erwartungswertes keine Schwierigkeit
hast, solltest du noch annehmen, dass alle Zufallsvariablen [mm] $X_i$ [/mm] Werte
$>0$ annehmen (mit Wahrscheinlichkeit 1).

Vorbetrachtung:  Fuer alle $i,j$ besitzen [mm] $X_i/(X_1+...+X_n)$ [/mm] und
[mm] $X_j/(X_1+...+X_n)$ [/mm] dieselbe Verteilung, denn es ist
[mm] $X_i/(X_1+...+X_n)=1/(1+Y_1+...+Y_{n-1})=Z_i$ [/mm] mit [mm] $Y_k=X_k/X_i$. [/mm]
Mithin ist die Verteilung von [mm] $Z_i$ [/mm] auf die Summe von $n-1$
unabhaengigen und identisch verteilten Zufallsvariablen
zurueckzufuehren, wobei jeder Summand dieselbe Verteilung wie [mm] $X_1/X_2$ [/mm]
besitzt.  Analog hat [mm] $Z_j=X_j/(X_1+...+X_n)$ [/mm] diese Verteilung.  Mithin
ist [mm] $\mbox{E}[Z_i]= \mbox{E}[Z_j]$ [/mm]


Wir erhalten so



[mm] \begin{matrix} 1&=&\mbox{E}[(X_1+...+X_n)/(X_1+...+X_n)] \\ &=&\mbox{E}[X_1/(X_1+...+X_n)]+...+\mbox{E}[X_n/(X_1+...+X_n)] \\ &=&n\mbox{E}[X_1/(X_1+...+X_n)] \end{matrix} [/mm]

also [mm] $\mbox{E}[X_1/(X_1+...+X_n)]=1/n$. [/mm]

lg

Luis


Bezug
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