Ersetzungsaxiom < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Labrinth |
Guten Tag.
Das Ersetzungsaxiom für jedes zweistellige Prädikat P(x,y) lautet:
[mm] $\forall x,y,z:(P(x,y)\wedge P(x,z)\implies y=z)\implies\forall X\exists Y\forall y:(y\in Y\iff\exists x\in [/mm] X:P(x,y))$.
Das heißt ja eigentlich, wenn ich eine Menge $X$ habe und eine "Funktion" in einen unbekannten Bildbereich, dass dieser auch eine Menge ist. Wenn [mm] $y_x$ [/mm] z.B. ein Term mit $x$ ist, und ich die Menge [mm] $A=\{(x,y_x):x\in X\} [/mm] habe, dann ist [mm] \{y:\exists x\in X:(x,y)\in A\} [/mm] eine Menge. Warum kann ich das Ersetzungsaxiom nicht wiefolgt formulieren:
[mm] $\forall A,X:(\forall x\in X:\exists!y:(x,y)\in A)\implies(\exists Y\forall y:(y\in Y\iff\exists x\in X:(x,y)\in [/mm] A))$
Danke schonmal für eine Erklärung.
Beste Grüße, Labrinth
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:12 Di 14.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Labrinth,
> Das Ersetzungsaxiom für jedes zweistellige Prädikat
> P(x,y) lautet:
>
> [mm]\forall x,y,z:(P(x,y)\wedge P(x,z)\implies y=z)\implies\forall X\exists Y\forall y:(y\in Y\iff\exists x\in X:P(x,y))[/mm].
Du meinst das Ersetzungsaxiom von ZFC? Dort ist nämlich genau präzisiert, was mit einem zweistelligen Prädikat gemeinst ist. Oder meinst du eher ein "naives Ersetzungsaxiom", in dem es dem Leser überlassen bleibt, was er genau unter einem zweistelligen Prädikat zu verstehen hat?
> Das heißt ja eigentlich, wenn ich eine Menge $X$ habe und
> eine "Funktion" in einen unbekannten Bildbereich, dass
> dieser auch eine Menge ist.
Ja, wobei die Funktion eben als zweistelliges Prädikat gegeben ist und nicht vorausgesetzt wird, dass es sich bei dieser Funktion um eine Menge handelt.
> Wenn [mm]$y_x$[/mm] z.B. ein Term mit
> $x$ ist,
Was meinst du genau mit einem Term in $x$?
> und ich die Menge [mm]$A=\{(x,y_x):x\in X\}[/mm] habe,
Du behauptest gerade, dass es sich bei $A$ um eine Menge handele. Dazu wirst du wohl schon das Ersetzungsaxiom benötigen. Damit wirst du $A$ als Bild von X unter der Abbildung [mm] $x\mapsto (x,y_x)$ [/mm] darstellen können (vorausgesetzt, diese Abbildung ist als zweistelliges Prädikat darstellbar).
> dann
> ist [mm]\{y:\exists x\in X:(x,y)\in A\}[/mm] eine Menge. Warum kann
> ich das Ersetzungsaxiom nicht wiefolgt formulieren:
>
> [mm]\forall A,X:(\forall x\in X:\exists!y:(x,y)\in A)\implies(\exists Y\forall y:(y\in Y\iff\exists x\in X:(x,y)\in A))[/mm]
Du ersetzt hier das zweistellige Prädikat P(x,y) aus dem Ersetzungsaxiomenschema durch eine Menge A.
Zwar impliziert das Ersetzungsaxiomenschema dein Axiom (Idee: betrachte [mm] $P(x,y):=$"$x\in X\wedge(x,y)\in [/mm] A$").
Aber die Umkehrung gilt vermutlich nicht. Um dein Axiom gewinnbringend nutzen zu können, müsste man bereits wissen, dass die Funktion, die man zu betrachten beabsichtigt, eine Menge ist.
Beispiel: Sei X eine Menge von Mengen. Wir wollen zeigen, dass auch [mm] $X':=\{x\cup\{\emptyset\}\;|\;x\in X\}$ [/mm] eine Menge ist. Ich setze dabei als bekannt voraus, dass für jede Menge x auch [mm] $x\cup\{\emptyset\}$ [/mm] eine Menge ist.
Idee: "Funktion" [mm] $x\mapsto x\cup\emptyset$ [/mm] betrachten und Ersetzungsaxiom(enschema) anwenden
Genauer: [mm] $R(x,y):=$"$y=x\cup\emptyset$". [/mm] Die Instanz des Ersetzungsaxiomenschemas für $R(x,y)$ liefert die gewünschte Menge $X'$.
Dein Axiom wird nicht viel weiterhelfen: Wir müssten schon wissen, dass [mm] $A:=\{(x,x\cup\emptyset)\;|\;x\in X\}$ [/mm] eine Menge ist. Das wird nicht leichter zu zeigen sein als unsere Behauptung, dass $X'$ eine Menge ist.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:12 Di 14.05.2013 | | Autor: | Labrinth |
> Hallo Labrinth,
>
>
> > Das Ersetzungsaxiom für jedes zweistellige Prädikat
> > P(x,y) lautet:
> >
> > [mm]\forall x,y,z:(P(x,y)\wedge P(x,z)\implies y=z)\implies\forall X\exists Y\forall y:(y\in Y\iff\exists x\in X:P(x,y))[/mm].
>
> Du meinst das Ersetzungsaxiom von ZFC? Dort ist nämlich
> genau präzisiert, was mit einem zweistelligen Prädikat
> gemeinst ist. Oder meinst du eher ein "naives
> Ersetzungsaxiom", in dem es dem Leser überlassen bleibt,
> was er genau unter einem zweistelligen Prädikat zu
> verstehen hat?
>
>
> > Das heißt ja eigentlich, wenn ich eine Menge [mm]X[/mm] habe und
> > eine "Funktion" in einen unbekannten Bildbereich, dass
> > dieser auch eine Menge ist.
> Ja, wobei die Funktion eben als zweistelliges Prädikat
> gegeben ist und nicht vorausgesetzt wird, dass es sich bei
> dieser Funktion um eine Menge handelt.
>
> > Wenn [mm]$y_x$[/mm] z.B. ein Term mit
> > [mm]x[/mm] ist,
> Was meinst du genau mit einem Term in [mm]x[/mm]?
>
> > und ich die Menge [mm]$A=\{(x,y_x):x\in X\}[/mm] habe,
> Du behauptest gerade, dass es sich bei [mm]A[/mm] um eine Menge
> handele. Dazu wirst du wohl schon das Ersetzungsaxiom
> benötigen. Damit wirst du [mm]A[/mm] als Bild von X unter der
> Abbildung [mm]x\mapsto (x,y_x)[/mm] darstellen können
> (vorausgesetzt, diese Abbildung ist als zweistelliges
> Prädikat darstellbar).
>
> > dann
> > ist [mm]\{y:\exists x\in X:(x,y)\in A\}[/mm] eine Menge. Warum kann
> > ich das Ersetzungsaxiom nicht wiefolgt formulieren:
> >
> > [mm]\forall A,X:(\forall x\in X:\exists!y:(x,y)\in A)\implies(\exists Y\forall y:(y\in Y\iff\exists x\in X:(x,y)\in A))[/mm]
>
> Du ersetzt hier das zweistellige Prädikat P(x,y) aus dem
> Ersetzungsaxiomenschema durch eine Menge A.
>
> Zwar impliziert das Ersetzungsaxiomenschema dein Axiom
> (Idee: betrachte [mm]P(x,y):=[/mm]"[mm]x\in X\wedge(x,y)\in A[/mm]").
>
> Aber die Umkehrung gilt vermutlich nicht. Um dein Axiom
> gewinnbringend nutzen zu können, müsste man bereits
> wissen, dass die Funktion, die man zu betrachten
> beabsichtigt, eine Menge ist.
>
>
> Beispiel: Sei X eine Menge von Mengen. Wir wollen zeigen,
> dass auch [mm]X':=\{x\cup\{\emptyset\}\;|\;x\in X\}[/mm] eine Menge
> ist. Ich setze dabei als bekannt voraus, dass für jede
> Menge x auch [mm]x\cup\{\emptyset\}[/mm] eine Menge ist.
>
> Idee: "Funktion" [mm]x\mapsto x\cup\emptyset[/mm] betrachten und
> Ersetzungsaxiom(enschema) anwenden
>
> Genauer: [mm]R(x,y):=[/mm]"[mm]y=x\cup\emptyset[/mm]". Die Instanz des
> Ersetzungsaxiomenschemas für [mm]R(x,y)[/mm] liefert die
> gewünschte Menge [mm]X'[/mm].
>
> Dein Axiom wird nicht viel weiterhelfen: Wir müssten schon
> wissen, dass [mm]A:=\{(x,x\cup\emptyset)\;|\;x\in X\}[/mm] eine
> Menge ist. Das wird nicht leichter zu zeigen sein als
> unsere Behauptung, dass [mm]X'[/mm] eine Menge ist.
Hallo Tobias,
Hier habe ich wirklich geschlafen. Ich kann nicht mal mehr meine Idee rekonstruieren. Irgendwie wollte ich die Menge $A$ aussondern, woraus jetzt genau weiß ich leider nicht mehr. Aber es sieht kaum aus als wäre das möglich. Sorry für die Mühe.
Beste Grüße,
Labrinth
>
> Viele Grüße
> Tobias
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