Ermitteln des Grenzwerts < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 Sa 04.10.2008 | | Autor: | LiliMa |
| Aufgabe | Ermittle den Grenzwert der Folge [mm] (a_{n}) [/mm] mit [mm] a_{n}=\bruch{n^{2}+n}{5n^{2}}.
[/mm]
Ab welcher Platznummer unterscheiden sich die Folgeglieder vom Grenzwert um höchstens [mm] \bruch{1}{100}. [/mm] |
Hi Leute,
mit der ersten Teilaufgabe hab ich keine Probleme (glaub ich).
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n^{2}+n}{5n^{2}})=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1+\bruch{1}{n}}{5})=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{5})+\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n})=\bruch{1}{5}
[/mm]
Damit ist der Grenzwert ja 0,2.
Bei der zweiten Teilaufgabe habe ich folgendes gemacht:
Grenzwert a: [mm] a=\bruch{1}{5} [/mm]
[mm] a_{n}=\bruch{n^{2}+n}{5n^{2}}
[/mm]
[mm] \varepsilon=\bruch{1}{100}
[/mm]
[mm] \bruch{n^{2}+n}{5n^{2}}-a<\varepsilon
[/mm]
[mm] 1+n-5a<5\varepsilon
[/mm]
[mm] n<5\varepsilon+5a-1
[/mm]
[mm] n<\bruch{1}{20}
[/mm]
Das stimmt aber irgendwie nicht. Könntet ihr mir da helfen.
Viele Grüsse und Danke
Lilli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Sa 04.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, dein Grenzwert ist richtig! Und dein Ansatz ist auch richtig, wenn du dich vorher vergewissert hast, dass die Folgeglieder auch alle größer als der Grenzwert sind!
Normalerweise müsste man mit [mm] |a_n-a|<\varepsilon [/mm] ansetzen, um auch die Fälle zu betrachten, wenn sich die Folgeglieder unterhalb des Grenzwertes befinden. Aber kann man wie gesagt in deiner Aufgabe weglassen, da das nicht der Fall ist.
Von
[mm] \bruch{n^{2}+n}{5n^{2}}-a<\varepsilon
[/mm]
zu
[mm] 1+n-5a<5\varepsilon
[/mm]
Hast du irgendeinen Fehler reingebaut! Weiß nicht genau was du gerechnest hast, aber da solltest du nochmal gucken. ich komme dann auf n>20.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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