Ermitteln der Lösung der DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Scaryman |
| Aufgabe | [mm]y'=y\*\cos x[/mm]
Anfangswert [mm]y_0=10[/mm] |
Hallo,
ich habe hier eine Differentialgleichung und weiß absolut nichts damit anzufangen. Die Beispiellösung ist so Kompliziert das ich sie nicht verstehe im Internet und in verschiedenen Büchern habe ich auch keine mir verständliche lösung gefunden.
Meine Geistige Leistung endete schon bei [mm]{dy \br dx} =y\*\cos x[/mm]
Könnte jemand bitte die Gleichung lösen und die Teilschritte aufschreiben und evtl. kurz beschreiben.
Vielen dank im vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo Scaryman,
Rechnung Anfang
1: [mm]y'=cos(x)*y[/mm]
2: [mm]\bruch{y'}{y}=cos(x)[/mm]
3: [mm]\integral_{}^{}{\bruch{y'}{y} dx}=\integral_{}^{}{cos(x) dx}[/mm]
4: [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dx}{ax+b} dx}=\bruch{1}{a}*ln |ax + b|[/mm]
5: [mm]a=1; b=0;[/mm]
6: [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x'}{x} dx}=ln |x|[/mm]
7: [mm]ln|y|=sin(x)+ln|C|[/mm]
8: [mm]ln|y]-ln|C|=sin(x)[/mm]
9: [mm]ln|\bruch{y}{C}|=sin(x)[/mm]
10: [mm]\bruch{y}{C}=e^{sin(x)}[/mm]
11: [mm]y=C*e^{sin(x)}[/mm]
13: [mm]y_{0}=10[/mm]
14: [mm]10=C*e^{sin(0)}[/mm]
15: [mm]10=C*e[/mm]
16: [mm]\bruch{10}{e}=C[/mm]
17: [mm]y=\bruch{10}{e}*e^{sin(x)}[/mm]
18: [mm]y=10*\bruch{e^{sin(x)}}{e}[/mm]
19: [mm]y=10*e^{sin(x)-1}[/mm]
Rechnung Ende
Zuerst musst du die Gleichung so umstellen, dass die Variablen auf der einen Seite der Gleichung stehen (1-3) und deren Differentiale (cos(x)) auf der Anderen. Dann integrierst du beide Seiten. Das Integral, welches dort steht, habe ich in einer Formelsammlung nachgeschlagen, die Parameter bestimmt und eingesetzt (4-7).
Die Integrationskonstante habe ich zweckmäßig als ln|C| geschrieben, so kann ich es nachher in einen Bruch umformen. Dann schließlich die Gleichung nach y umstellen und den ln() durch e aus der Gleichung entfernen. Schließlich habe ich noch den Anfangswert in die Gleichung eingesetzt und in die aufgelöste DGL eingesetzt (13-19).
Persönlich finde ich die "Formelsammlung für Naturwissenschaftler und Ingenieure" von Lothar Papula prima zum Nachschlagen, dort sind auch Beispiele zu vielen Sachen angegeben. Mir selbst hat er schon viel geholfen, vorallem weil er schön einfach ist und ich bin in Mathe auch nicht so gut.
Lieben Gruß,
Dirk
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Scaryman |
Vielen Dank, nun habe ich es auch gecheckt 
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