Erklärung Lsg Differenzengl. < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Do 15.02.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gegeben seien die folgenden homogenen Differenzengleichungen:
a) y(x+2) -y(x+1) -2y(x)=0 mit y(0)=2 ; y(1)=1
b) y(x+2) -2y(x+1) +y(x)=0 mit y(0)=1 ; y(1)=3
c) y(x+2) +2y(x+1) +2y(x)=0 mit y(0)= - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ; y(1)= [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Bestimmen sie die Lösungen der Differenzengleichungen für die angegebenen Anfangsbedingungen. |
Moin,
zu dieser Aufgabe habe ich mir die Lösung besorgt, verstehe aber nicht alle Umformungen. Vielleich tkann mir da jemand helfen?
1. Allgemeine Lösung von y(x+2) + a1*y(x+1) + a0*(y)=b
Es gilt: y(x)= [mm] y_{P}(x) [/mm] + [mm] y_{H}(x)
[/mm]
I. Allgemeine Lösung [mm] y_{H} [/mm] von y(x+2)+a1*y(x+1) +a0*y(x)=0
***
mithilfe der Diskriminante ?? ; Zusammenhang ist mir unklar!
***
0= [mm] a1^2 [/mm] -4a0
1) D>0 : [mm] y_{H}(x)= c1*\lambda1^x [/mm] + [mm] c2*\lambda2^x [/mm] (c1,c2 [mm] \in [/mm] R)
mit [mm] \lambda1 [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (a1 + [mm] \wurzel{D}) [/mm] und [mm] \lambda2 [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (a1 - [mm] \wurzel{D}) [/mm]
2) D=0 : [mm] y_{H}(x)= c1*\lambda1^x [/mm] + [mm] c2*\lambda2^x [/mm] (c1,c2 [mm] \in [/mm] R)
[mm] \lambda1,2 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}a1
[/mm]
3) D<0 : [mm] y_{H}(x)= c1*r^x*cos(ßx) [/mm] + [mm] c2*r^x*sin(ßx) [/mm] (c1,c2 [mm] \in [/mm] R)
mit [mm] r=\wurzel{a0}, [/mm] cos ß = [mm] -\bruch{a1}{2r}, [/mm] sin ß = [mm] \bruch{\wurzel{-D}}{2r}
[/mm]
II. partikuläre Lösung von y(x+2) + a1*y(x+1) + a0*(y)=b
a) a0 +a1 [mm] \ne [/mm] -1 => [mm] y_{P}(x)= \bruch{b}{a0+a1} [/mm] +1
b) a0 +a1 = -1 [mm] \wedge [/mm] a1= -2 => [mm] y_{P}(x)= \bruch{b}{a1+2}*x
[/mm]
c) a0 +a1 = -1 [mm] \wedge [/mm] a1 [mm] \ne [/mm] -2 => [mm] y_{P}(x)=\bruch{b}{2}*x^2 [/mm]
*** wie lautet hierzu die allgemeine regel? völlig kryptisch! ***
Lösung zu a)
a1=-1
a0=-2
b=0
D: [mm] 0=a1^2 [/mm] -4a0 = [mm] (-1)^2 [/mm] -4(-2) = 9 > 0
=> [mm] y_{H}(x)= c1*\lambda1^x [/mm] + [mm] c2*\lambda2^x [/mm] (c1,c2 [mm] \in [/mm] R)
[mm] \lambda1 [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (-1 + [mm] \wurzel{9}) [/mm] =-1
[mm] \lambda2 [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (-1 - [mm] \wurzel{9}) [/mm] =2
[mm] y_{H}(x)= c1*(-1)^x [/mm] + [mm] c2*2^x [/mm]
[mm] y_{P}(x)=0 [/mm] (da b=0) *** gilt offensichtlich allgemein oder? ***
y(x)= [mm] y_{H}(x) [/mm] + [mm] y_{P}(x) [/mm] = [mm] c1*(-1)^x [/mm] + [mm] c2*2^x
[/mm]
y(0)= c1+c2 =2
y(1)= -c1 +2c2=1
=> c1=1 und c2=1
=> y(x)= [mm] (-1)^x +2^x
[/mm]
Lösung zu b)
a1=-2
a0=1
b=0
D= [mm] (-2)^2 [/mm] -4 =0
[mm] y_{H}(x)= c1*\lambda1^x [/mm] + [mm] c2*\lambda2^x [/mm] (c1,c2 [mm] \in [/mm] R)
[mm] \lambda1,2 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}a1
[/mm]
[mm] \lambda1,2 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}*(-2) [/mm] =1
[mm] y_{H}(x)= c1*1^x [/mm] + [mm] c2*x*1^x [/mm] = c1 +c2*x
[mm] y_{P}(x)=0, [/mm] da b=0
y(0)=c1 =1
y(1)= 1 + c2*1 =3
c1=1
c2=2
=> y(x)= 1+ 2x
Lösung zu c)
a1=2
a0=2
b=0
D= [mm] 2^2 [/mm] -4*2 =-4 <0
[mm] y_{H}(x)= c1*r^x*cos(ßx) [/mm] + [mm] c2*r^x*sin(ßx) [/mm] (c1,c2 [mm] \in [/mm] R)
mit [mm] r=\wurzel{a0}, [/mm] cos ß = [mm] -\bruch{a1}{2r}, [/mm] sin ß = [mm] \bruch{\wurzel{-D}}{2r}
[/mm]
[mm] r=\wurzel{2}
[/mm]
cos ß = [mm] -\bruch{2}{2*\wurzel{2}}
[/mm]
sin ß = - [mm] \bruch{\wurzel{4}}{2*\wurzel{2}}
[/mm]
=> jeweils ß=135° = [mm] \bruch{3}{4}*\pi
[/mm]
[mm] y_{H}(x)= [/mm] c1* [mm] \wurzel{2}^x*cos{\bruch{3}{4}*\pi*x} [/mm] + [mm] c2*\wurzel{2}^x*sin{\bruch{3}{4}*\pi*x} [/mm]
[mm] y_{P}(x)=0, [/mm] da b=0
y(x)=c1 * ( [mm] \wurzel{2}^x) [/mm] * cos{ [mm] \bruch{3}{4} [/mm] * [mm] \pi [/mm] * x} + c2*( [mm] \wurzel{2}^x) [/mm] * sin( [mm] \bruch{3}{4}*\pi*x) [/mm]
y(0)=c1*1 = [mm] -\bruch{1}{4}
[/mm]
c1= [mm] -\bruch{1}{4}
[/mm]
y(1)=c1 * [mm] \wurzel{2} [/mm] * cos( [mm] \bruch{3}{4} *\pi) [/mm] + c2 * [mm] \wurzel{2} [/mm] * sin( [mm] \bruch{3}{4} *\pi) [/mm]
[mm] y(1)=c1*\wurzel{2}*(-\bruch{1}{\wurzel{2}}) [/mm] + [mm] c2*\wurzel{2}*\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4}=c1*(-1) [/mm] +c2
[mm] \bruch{1}{4}=- \bruch{1}{4}*(-1) [/mm] +c2
c2=0
y(x)= [mm] -\bruch{1}{4}*( \wurzel{2}^x [/mm] ) * cos( [mm] \bruch{3}{4} *\pi*x)
[/mm]
tschö.
vielen dank für eure hilfe!!
gruß
wolfgang
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:58 Fr 16.02.2007 | | Autor: | leduart |
hallo hase
Die homogene Gl. wird mit dem Ansatz [mm] f=\lambda^x [/mm] geloest.
einsetzen gibt ein Polynom fuer [mm] \lambda [/mm] und dann die entsprechenden Loesungen, (aehnllich wie bei den entsprechenden Differentialgleichungen mit dem ansatz [mm] f=e^{\lambda*x})
[/mm]
dadurch kommst du auf deine diskriminante, eine loesung, 2 reelle Loesungen oder 2 komplexe.
du hattest nur homogene Gl. also f=0 als partikulaere Loesung.
Sonst mit konstanter rechter seite der ansatz fuer die part. Loesung: f=Ax+B, A,B durch einsetzen bestimmen.
Gruss leduart
|
|
|
|
