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| Aufgabe | Wie muss man n wählen, damit der Graph der Funktion f mit der x-Achse zwei gleich große Flächen einschließt.
f(x) = 3x³ - 3x +n |
Ich konnte mir zwar durch zeichnen, etc. herleiten, dass n=0 sein muss, allerdings finde ich dafür keinen Beweis in Form einer Umformung etc.
Wäre sehr nett, wenn mir hier jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Sa 09.09.2006 | | Autor: | Fulla |
hi Phoenix
deine funktion ist punktsymmetrisch zu (0;n). für n=0 sieht man das ganz leicht ( f(-x)=-f(x) )... das '+n' verschiebt den graph nur nach oben...
schon allein aus symmetriegründen kann man sagen, dass nur für n=0 zwei gleichgroße flächenstücke entstehen.
man könnte auch das integral [mm] \integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=0 [/mm] berechnen.
da die funktion ja symmetrisch ist, integrieren wir von null aus gleichweit in beide richtungen... weil die flächen gleich groß sein sollen, muss 0 rauskommen.
das kannst du selber ausrechnen. es wird daraus hinauslaufen,
dass [mm]-n=n[/mm], also, dass n=0 sein muss.
hilft dir das?
lieben gruß,
Fulla
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Ja, erstmal vielen Dank, das habe ich verstanden.
Ich habe allerdings noch folgendes Problem.
Berechnet man die Sache mittels f(-x)=-f(x) ergibt sich zwar -n=n.
Dieses Ergebnis ergibt sich allerdings auch bei einer zweiten Funktion, zur selben Aufgabenstellung
f(x) = -x³ + 3x² +n
Hier ist (was man mit bischen probieren rauskiregen kann) die richtige Lösung n = -2, mir ist aber halt unklar wie ich das mit einem konkreten Rechenweg zeigen kann. (Ohne jetzt davon auszugenen, dass ich die Lösung schon kenne und gleich n = -2 einsetze.)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 Mo 11.09.2006 | | Autor: | Fulla |
hallo nochmal!
bei dieser aufgabe muss man etwas anders vorgehen.
meine idee ist, dass wir den punkt berechnen, zu dem der graph symmetrisch ist...
bei der funktion [mm] -x^3+3x^2+n [/mm] ist das der wendepunkt
[mm]f''(x)=-6x+6[/mm]
also ist der wendepunkt bei x=1 - eingesetzt in die funktionsgleichung erhalten wir W=(1|2+n)
jetzt "verschieben" wir den graphen so, dass der wendepunkt auf der y-achse liegt - also um 1 nach links.
das erreichen wir, wenn wir f(x+1) ausrechnen:
[mm]f(x+1)=-(x+1)^3+3(x+1)^2+n=...=-x^3+3x+2+n[/mm]
natürlich ist das jetzt eine andere funktion, aber es ändert sich nichts, was für diese aufgabe relevant ist!
formal kann man jetzt wieder integrieren:
[mm]\integral_{-a}^{a}{f(x+1)dx}=...=4a+2na[/mm]
das muss wieder gleich null werden --> n=-2
lieben gruß,
Fulla
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