Erfüllungsmenge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:29 Sa 08.04.2006 | | Autor: | ginababy |
| Aufgabe | Ich habe eine Frage und zwar wenn ich eine Erfüllungsmenge einer Aussageform in der Grundmenge angeben will, wie muss ich das anstellen, also als bsp zb eine aufgabe
(x < 3) [mm] \Rightarrow [/mm] (x< 2) Grundmenge natürliche Zahlen ist E= {1,2}?
oder noch ein Bsp
(2 * x=3) [mm] \gdw [/mm] (x=1,5) ist E={1,5} also wahre Aussage dann? |
Oder wenn ich jetzt eine Gleichung und Ungleichung in der Grundmenge N (Natürliche Zahlen) angeben will, wie komm ich dann auf die Lösungsmenge?
bsp
x+4>7
oder
3x-7< 2+x
ich weiss nicht wie ich das umformen kann
Danke im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:30 Sa 08.04.2006 | | Autor: | prfk |
Moin
Also zu deiner Frage im "Aufgaben-Kasten" kann ich dir keinen allgemeinen Rechenweg angeben. Du musst halt drauf achten, dass alle Bedingungen erfüllt sind und dass die Elemente der Lösungsmenge aus der Grundmenge stammen. Deine angegebenen Lösungsmenge sind soweit richtig denk ich.
Zu den Ungleichungen:
Ungleichungen verhalten sich an und für sich wie Gleichungen.
In deinem Bsp:
x+4>7 |-4
x>3
mit [mm] x\in \IN [/mm] folgt daraus [mm] E=[4,5,...,\infty]
[/mm]
Im zweiten Bsp:
3x-7< 2+x |+7
3x<9+x |-x
2x<9 |:2
[mm] x<\bruch{9}{2}
[/mm]
mit [mm] x\in \IN [/mm] folgt daraus [mm] E=[0,1,...,4][/mm]
Wichtig bei Ungleichungen ist, dass wenn du durch eine neg. Zahl teilst, dass aus "<" ein ">" wird.
Bsp:
2<3 |:(-1)
-2>-3
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:40 Sa 08.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
auch dir einen schönen morgen, prfk.
Ich wollte nur schnell zwei Anmerkungen machen, denn der Fragesteller will ja extra eine formal richtige Darstellung der Lösungsmenge.
> x>3
> mit [mm]x\in \IN[/mm] folgt daraus [mm]E=[4,5,...,\infty][/mm]
Naja also "unendlich" gehört ja formal nicht mehr zu [mm] $\IN$ [/mm] und eine Teilmenge der natürlichen Zahlen als Intervall zu schreiben ohne explizit auszudrücken, dass die Elemente nur aus [mm] $\IN$ [/mm] zu wählen sind halte ich auch fahrlässig bis falsch.
Also besser in der Darstellung wäre:
[mm] $E=\{ x\in \IN | x>3 \}$ [/mm] oder [mm] $\{ 4,5,... \}$ [/mm] wenn man denn Pünktchen mag (was viele aber nicht tun !)
> [mm]E=[0,1,...,4][/mm]
hier das gleiche - lieber auf die Intervall-schreibweise verzichten, oder man müsste schreiben [mm] $E=[0,1,...,4]_{\IN}$ [/mm] , aber dann kann man es gleich schön aufschreiben...
Also man möge mich nicht falsch verstehen:
Der Beitrag von prfk war absolut richtig - nur eben die Darstellungen der Mengen nicht unbedingt sauber und nur mit ein paar zugedrückten Augen würde das kein Punkt-abzug verursachen.
viele Grüße + schönes WE
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:01 Sa 08.04.2006 | | Autor: | prfk |
Du hast natürlich recht. [mm] \infty [/mm] gehört nicht mehr zu [mm] \IN [/mm] und somit ist die Angabe des Intervalls nicht ganz in Ordnung.
Wir hatten für solche Fälle in der Mathevorlesung verschiedene Klammern eingeführt. Nach unserer Definition hätte ich dann also schreiben müssen [mm] [3,4,...\infty), [/mm] wobei die runde Klammer angibt, dass die Menge,in diesem Fall, bis [mm] \infty [/mm] geht, [mm] \infty [/mm] aber nicht dazu gehört.
Bsp:
[1,...,4) [mm] \hat= [/mm] {1,2,3} | (Wenn die Elemente nur aus [mm] \IN [/mm] stammen)
Ich persönlich komme dabei aber immer mit den Klammern durcheinander.
Mir gefällt die von dir angegebene Darstellung am besten ( [mm] \{x\in\IN|x>3\} [/mm] ). Allerdings fand ich diese Darstellung zu Anfang meines Studiums sehr unverständlicht und gewöhungsbedürftig, zumal wir uns aber auch, meist mit etwas komplexeren Bedingungen, beschäftigsthaben.
Naja lange Rede, kruzer Sinn... An und für sich ist ja alles klar...
Gruß
prfk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:32 Sa 08.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Guten Morgen,
> (x < 3) [mm]\Rightarrow[/mm] (x< 2) Grundmenge natürliche Zahlen ist
> E= {1,2}?
du willst also wissen, für welche natürlichen Zahlen x gilt, dass aus (x<3) auch noch folgt (x<2) ?
nun ja, dies gilt sicher nicht mehr für 2,
also ist die Lösungsmenge [mm] $\IL=\{ x\in \IN | x<2 \}=\{ 1 \}$ [/mm]
(manchmal wird die 0 noch zu den natürlichen Zahlen gerechnet, dann würde sie hier auch mit auftauchen..)
> (2 * x=3) [mm]\gdw[/mm] (x=1,5) ist E={1,5} also wahre
> Aussage dann?
Ja, die Lösungsmenge dieser Äquivalenz ist gleich der Lösungsmenge der ersten Gleichung, denn du kannst ja eine Äquivalenzumformung machen um auf die zweite Gleichung zu kommen, also ist 1.5 das einzige Element in der Lösungsmenge.
zu dem Rest wurde dir ja schon was gesagt ...
viele Grüße
DaMenge
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