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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Sa 16.03.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Drücke die folgenen Ereignisse mit Hilfe der Ereignisse A,B,C aus, woebei die Symbole A , B , C, (, ), [mm] \cap, \cup [/mm] ,^c verwendet werden dürfen
1)D = Höchtsnes eines der Eregisse A,B oder C tritt sein
[mm] 2)D_2 [/mm] = Mindestens eines der Ereignisse A,B oder C tritt nicht ein
[mm] 3)D_3= [/mm] A kann nur dann eintreten wenn weder B noch C ein tritt.
[mm] 4)D_4 [/mm] = Falls A nicht eintritt, tritt B auch nicht ein
[mm] 5)D_5 [/mm] = Falls [mm] D_4 [/mm] eintritt, tritt auch B ein |
1)
D = (A [mm] \cap B^c \cap C^c [/mm] ) [mm] \cup (A^c \cap [/mm] B [mm] \cap C^c) \cup (A^c \cap B^c \cap [/mm] C ) [mm] \cup (A^c \cap B^c \cap C^c [/mm] )
2)
[mm] D_2 [/mm] = Kompelemt von alle treten ein (A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup C)^c
[/mm]
[mm] D_2 [/mm] = Genau eines der drei ereignisse A ,B oder C tritt ein
Ist das nicht D ohne [mm] \cup (A^c \cap B^c \cap C^c [/mm] ) am schluss?
[mm] D_2= [/mm] (A [mm] \cap B^c \cap C^c [/mm] ) [mm] \cup (A^c \cap [/mm] B [mm] \cap C^c) \cup (A^c \cap B^c \cap [/mm] C )
3)
[mm] D_3 [/mm] = Grundraum ohne [mm] D_3^c [/mm]
[mm] (D_3)^c [/mm] = A kann nur dann eintreten wenn B oder C eintreten
[mm] (D_3)^c [/mm] = (A [mm] \cap [/mm] B ) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
-> [mm] D_3 [/mm] = Grundraum ohne (A [mm] \cap [/mm] B ) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
Mein proble: Grundraum kommt vor sowie ohne zeichen... bzw. weiß ich nicht mal ob meine überlegungen stimmen.
4)
Ich denke dass muss man übers Komplement machen.
[mm] (D_4)^c [/mm] = Falls A eintritt, tritt B ein.
5)
da ich obiges nicht beantworten kann, bin ich hier leider auch überfragt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Sa 16.03.2013 | | Autor: | abakus |
> Drücke die folgenen Ereignisse mit Hilfe der Ereignisse
> A,B,C aus, woebei die Symbole A , B , C, (, ), [mm]\cap, \cup[/mm]
> ,^c verwendet werden dürfen
> 1)D = Höchtsnes eines der Eregisse A,B oder C tritt sein
> [mm]2)D_2[/mm] = Mindestens eines der Ereignisse A,B oder C tritt
> nicht ein
> [mm]3)D_3=[/mm] A kann nur dann eintreten wenn weder B noch C ein
> tritt.
> [mm]4)D_4[/mm] = Falls A nicht eintritt, tritt B auch nicht ein
> [mm]5)D_5[/mm] = Falls [mm]D_4[/mm] eintritt, tritt auch B ein
> 1)
>
> D = (A [mm]\cap B^c \cap C^c[/mm] ) [mm]\cup (A^c \cap[/mm] B [mm]\cap C^c) \cup (A^c \cap B^c \cap[/mm]
> C ) [mm]\cup (A^c \cap B^c \cap C^c[/mm] )
Das geht auch kürzer mit [mm](A\cap B \cup B\cap C \cup A\cap C)^C[/mm]
>
>
> 2)
>
> [mm]D_2[/mm] = Kompelemt von alle treten ein (A [mm]\cup[/mm] B [mm]\cup C)^c[/mm]
Falsche Symbole in der Klammer. Es muss jeweils "[mm]\cap[/mm]" sein.
>
> [mm]D_2[/mm] = Genau eines der drei ereignisse A ,B oder C tritt
> ein
> Ist das nicht D ohne [mm]\cup (A^c \cap B^c \cap C^c[/mm] ) am
> schluss?
> [mm]D_2=[/mm] (A [mm]\cap B^c \cap C^c[/mm] ) [mm]\cup (A^c \cap[/mm] B [mm]\cap C^c) \cup (A^c \cap B^c \cap[/mm]
> C )
>
> 3)
>
> [mm]D_3[/mm] = Grundraum ohne [mm]D_3^c[/mm]
>
> [mm](D_3)^c[/mm] = A kann nur dann eintreten wenn B oder C
> eintreten
> [mm](D_3)^c[/mm] = (A [mm]\cap[/mm] B ) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
> -> [mm]D_3[/mm] = Grundraum ohne (A [mm]\cap[/mm] B ) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
> Mein proble: Grundraum kommt vor sowie ohne zeichen...
> bzw. weiß ich nicht mal ob meine überlegungen stimmen.
Generelles zu 3) bis 5):
X[mm]\to[/mm]Y ist äquivalent zu [mm]Y\cup X^C[/mm].
Gruß Abakus
>
> 4)
>
> Ich denke dass muss man übers Komplement machen.
> [mm](D_4)^c[/mm] = Falls A eintritt, tritt B ein.
>
>
> 5)
>
> da ich obiges nicht beantworten kann, bin ich hier leider
> auch überfragt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Sa 16.03.2013 | | Autor: | sissile |
> Generelles zu 3) bis 5):
> X$ [mm] \to [/mm] $Y ist äquivalent zu $ [mm] Y\cup X^C [/mm] $.
Wie meinst du das?
Ich intrepretiere das so:
X$ [mm] \to [/mm] $Y .. Wenn X eintritt dann tritt Y ein.
Äquivalent wäre dazu wenn Y nicht ein tritt dann tritt X ein (Umkehrschluss)
Wäre toll, wenn du mir das näher eklären könntest.
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Hallo,
> > Generelles zu 3) bis 5):
> > X[mm] \to [/mm]Y ist äquivalent zu [mm]Y\cup X^C [/mm].
>
> Wie meinst du das?
> Ich intrepretiere das so:
> X[mm] \to [/mm]Y .. Wenn X eintritt dann tritt Y ein.
> Äquivalent wäre dazu wenn Y nicht ein tritt dann tritt X
> ein (Umkehrschluss)
>
> Wäre toll, wenn du mir das näher eklären könntest.
Es lässt sich besser erklären, wenn wir es auf Aussagenlogik zurückführen. Dazu: Ereignisse sind ja Teilmengen der Grundmenge [mm]\Omega[/mm].
Jedes Experiment hat einen Ausgang [mm]\omega \in \Omega[/mm]. (Zum Beispiel Würfeln, [mm]\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}[/mm], dann wird irgendeine Zahl [mm]\omega[/mm] von 1 bis 6 gewürfelt)
Ein Ereignis [mm]A[/mm] tritt bei der Realisierung [mm]\omega[/mm] ein, wenn [mm]\omega \in A[/mm].
Wenn die Aussage also lautet: "Wenn A eintritt, tritt auch B ein" (d.h. sowas wie [mm]A \Rightarrow B[/mm]), dann bedeutet das also eigentlich
[mm]\omega \in A \Rightarrow \omega \in B[/mm].
Nun kannst du die Gesetze der Aussagenlogik benutzen: [mm]a \Rightarrow b \gdw \neg a \vee b[/mm] .
Obiges ist also äquivalent zu:
[mm] $\neg(\omega \in [/mm] A) [mm] \vee \omega \in [/mm] B$
[mm] $\omega \not\in [/mm] A [mm] \vee \omega \in [/mm] B$
[mm] $\omega \in [/mm] B [mm] \cup A^{c}$.
[/mm]
Das ist das, was abakus hergeleitet hat.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 So 17.03.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
Wir hatten noch keine Aussagenlogik nur kurz angeschnitten im 1 Semester.
> Gesetze der Aussagenlogik benutzen: $ a [mm] \Rightarrow [/mm] b [mm] \gdw \neg [/mm] a [mm] \vee [/mm] b $
Woher kommt das? Ein Axiom oder eine zu beweisende tatsache?
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Hallo,
> > Gesetze der Aussagenlogik benutzen: [mm]a \Rightarrow b \gdw \neg a \vee b[/mm]
> Woher kommt das? Ein Axiom oder eine zu beweisende
> tatsache?
Auf Basis des "Tertium non datur" (d.h. es gibt nur Wahr (w) und Falsch (f) und [mm] $\neg [/mm] f = w$) ist das eine zu beweisende Tatsache.
Du kannst es mit einer Wahrheitstabelle beweisen. Setze also nacheinander für a = w,f und für b = w,f ein.
Das sind insgesamt vier Möglichkeiten. Bestimme dann, ob für diese 4 Möglichkeiten $a [mm] \Rightarrow [/mm] b$ und [mm] $\neg [/mm] a [mm] \vee [/mm] b$ wahr / falsch sind. Du wirst feststellen, dass beide Terme immer genau bei den selben Kombinationen wahr/falsch sind.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 So 17.03.2013 | | Autor: | sissile |
Danke,
Ich erinner mich grad an das Bsp:
a: Ein Stein wird durch das geschlossene Fenster geworfen
b: Die Scheibe zerbricht
a => b : Ein Stein wird durch das geschlossene Fenster geworfen, und daraus folgt, dass sie Scheibe zerbricht.
So kann man sich dies dann schön herleiten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 So 17.03.2013 | | Autor: | sissile |
Ich erhalte dann für :
[mm] D_3 [/mm] = A kann nur dann eintreten, wenn weder B noch C eintritt
[mm] \omega \in [/mm] A => [mm] \omega \not\in [/mm] B [mm] \wedge \omega \not\in [/mm] C
Äquivalent dazu [mm] \omega \not\in [/mm] A [mm] \vee (\omega \not\in [/mm] B [mm] \wedge \omega \not\in [/mm] C)
[mm] D_3 [/mm] = [mm] A^c \cup (B^c \cap C^c [/mm] )
Richtig?
$ [mm] 4)D_4 [/mm] $ = Falls A nicht eintritt, tritt B auch nicht ein
Ist dass auch solch eine Implikation?
[mm] \neg [/mm] A -> [mm] \neg [/mm] B
[mm] \omega \not\in \neg [/mm] A [mm] \vee (\omega \in \neg [/mm] B)
Nun weiß ich nicht wie ich das in mengenschreibweise verwirklichen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 So 17.03.2013 | | Autor: | abakus |
> Ich erhalte dann für :
> [mm]D_3[/mm] = A kann nur dann eintreten, wenn weder B noch C
> eintritt
> [mm]\omega \in[/mm] A => [mm]\omega \not\in[/mm] B [mm]\wedge \omega \not\in[/mm] C
> Äquivalent dazu [mm]\omega \not\in[/mm] A [mm]\vee (\omega \not\in[/mm] B
> [mm]\wedge \omega \not\in[/mm] C)
>
> [mm]D_3[/mm] = [mm]A^c \cup (B^c \cap C^c[/mm] )
> Richtig?
>
> [mm]4)D_4[/mm] = Falls A nicht eintritt, tritt B auch nicht ein
> Ist dass auch solch eine Implikation?
> [mm]\neg[/mm] A -> [mm]\neg[/mm] B
> [mm]\omega \not\in \neg[/mm] A [mm]\vee (\omega \in \neg[/mm] B)
> Nun weiß ich nicht wie ich das in mengenschreibweise
> verwirklichen kann.
Hallo,
die Negation einer Aussage entspricht (bezogen auf Mengen) dem Bilden den Komplementmenge.
Gruß Abakus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 So 17.03.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
Hat den jetzt [mm] D_3 [/mm] gestimmt?
$ [mm] \omega \not\in \neg [/mm] $ A $ [mm] \vee (\omega \in \neg [/mm] $ B)
<=> A [mm] \cup B^c
[/mm]
Ist es nicht leichter so:
[mm] \neg [/mm] A [mm] ->\neg [/mm] B ist äquivalent zu B -> A
[mm] D_4 [/mm] = [mm] B^c \cup [/mm] A
[mm] D_5:
[/mm]
[mm] \omega \in [/mm] X-> [mm] \omega \in [/mm] B das heißt [mm] \omega \in [B^c \cup [/mm] A] -> [mm] \omega \in [/mm] B
ist äquivalent zu [mm] \omega \not\in (B^c \cup [/mm] A) [mm] \vee \omega \in [/mm] B
[mm] D_5 [/mm] = B
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 So 17.03.2013 | | Autor: | sissile |
Ich habe es nun editiert ;)
LG
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Hallo,
> Hat den jetzt [mm]D_3[/mm] gestimmt?
Ja, dein [mm] $D_3$ [/mm] oben war richtig.
> Ist es nicht leichter so:
> [mm]\neg[/mm] A [mm]->\neg[/mm] B ist äquivalent zu B -> A
>
> [mm]D_4[/mm] = [mm]B^c \cup[/mm] A
Ja, das ist auch richtig.
> [mm]D_5:[/mm]
> [mm]\omega \in[/mm] X-> [mm]\omega \in[/mm] B das heißt [mm]\omega \in [B^c \cup[/mm]
> A] -> [mm]\omega \in[/mm] B
> ist äquivalent zu [mm]\omega \not\in (B^c \cup[/mm] A) [mm]\vee \omega \in[/mm]
> B
> [mm]D_5[/mm] = B
[mm] $\omega \in D_5$ [/mm] soll äquivalent sein zu [mm] $\omega \in D_4 \Rightarrow \omega \in [/mm] B$. Das ist äquivalent zu
[mm] $\omega \in [/mm] B [mm] \cup D_4^{c} [/mm] = B [mm] \cup (B^{c} \cup A)^{c} [/mm] = B [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap A^{c}) [/mm] = B$.
D.h. du hast richtig gerechnet, [mm] $D_5 [/mm] = B$.
Viele Grüße,
Stefan
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