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Hallo, habe mal wieder ein paar Probleme mit einer Aufgabe:
Man soll die Grenzwerte von zwei Folgen berechnen ( (1 + [mm] \bruch{1}{n})^{10} [/mm] und [mm] \bruch{sin(n) + cos^{3}(n)}{\wurzel{n}} [/mm] ) was ja nicht das größte Problem darstellt.
Nun soll ein N = [mm] N(\varepsilon) [/mm] derart bestimmt werden, dass [mm] |a_{n} [/mm] - A| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge N(\varepsilon) [/mm] gilt.
Demnach hätte ich also die Gleichungen
|(1 + [mm] \bruch{1}{n})^{10} [/mm] - 1| < [mm] \varepsilon
[/mm]
und
[mm] |\bruch{sin(n) + cos^{3}(n)}{\wurzel{n}} [/mm] - 0| < [mm] \varepsilon
[/mm]
zur Verfügung, nur wie komme ich jetzt auf [mm] N(\varepsilon) [/mm] ???
Bin für jede Hilfe dankbar.
mfg
Berndte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 So 01.05.2005 | | Autor: | Nam |
[mm]\left|\left(1+\frac{1}{n}\right)^{10} - 1\right| = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{10} - 1 < \epsilon[/mm]
[mm]\gdw \left(1+\frac{1}{n}\right)^{10} < \epsilon + 1[/mm]
[mm]\Rightarrow 1+\frac{1}{n} < \sqrt[10]{\epsilon+1}[/mm]
[mm]\gdw n > \frac{1}{\sqrt[10]{\epsilon + 1} - 1}[/mm]
Also z. B.:
[mm]N(\epsilon) = \frac{1}{\sqrt[10]{\epsilon + 1} - 1} + 1[/mm] (eigentlich einfach aufrunden statt +1, aber das Zeichen dafür kenne ich in LaTeX leider nicht).
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