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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen f:D [mm] \to \IR [/mm] zu beliebig vorgegebenen [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0, sodass aus |x-a|< [mm] \delta [/mm] die Ungleichung |f(x)-f(a)|< [mm] \varepsilon [/mm] folgt.
a) f(x)= 2x², D=[1,2]
b) f(x)= 1/x, D={x [mm] \in \IR [/mm] | x [mm] \ge [/mm] 1/2}
c) f(x) = [mm] \wurzel[3]{x}, [/mm] D={x [mm] \in \IR [/mm] | x [mm] \ge [/mm] 1} |
Hallo ;)
Ich hab bei der a) mal so angefangen:
Sei epsilon>0 gegeben, dann gilt:
|f(x)-f(a)|=|2x²-2a²|=2*|x²-a²|
Wenn dort jetzt stehen würde, 2*|x-a|, dann könnte ich doch [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] /2 wählen, oder?!
Und wie komm ich hier weiter?
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Guten Abend Alfi,
genau, dass könntest du dann.
Du kannst aber noch weiter vereinfachen:
[mm]|f(x)-f(a)|=|2x²-2a²|=2*|x²-a²|=2*|x-a|*|x+a|[/mm]. Jetzt musst du noch dein Definitionsbereich verwenden:
Im "schlimmsten" Fall setzt du für a=2 ein
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]2*|x-a|*|x+a|\le2*|x-a|*|x+2|<\epsilon[/mm]
Jetzt findest du bestimmt schnell ein [mm] \delta.
[/mm]
lg Kai
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danke erstmal für deine schnelle tolle Antwort!!!
Also ist mein [mm] \delta [/mm] dann einfach = [mm] \varepsilon [/mm] /x+2 ?
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Die Beträge solltest du nicht so einfach verschinden lassen, aber ansonsten siehts gut aus!
lg Kai
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Hey!
ich glaub ich brauch bei der c) noch einen kleine Hilfe-Schub!
Also wie kann ich | [mm] \wurzel[3]{x} [/mm] - [mm] \wurzel[3]{a} [/mm] | noch weiter vereinfachen, dass es mir was bringt!
Danke!
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Hallo Mathe-Alfi,
> Hey!
>
> ich glaub ich brauch bei der c) noch einen kleine
> Hilfe-Schub!
>
> Also wie kann ich | [mm]\wurzel[3]{x}[/mm] - [mm]\wurzel[3]{a}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| noch
> weiter vereinfachen, dass es mir was bringt!
Da hilft nur ein Trick 
$|\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}|=\left|\frac{\sqrt[3]{x}^2+\sqrt[3]{x}\cdot{}\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a}^2}{\sqrt[3]{x}^2+\sqrt[3]{x}\cdot{}\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a}^2}\right|\cdot{}|\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}|$
$=\left|\frac{\left(\sqrt[3]{x}^2+\sqrt[3]{x}\cdot{}\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a}^2)\cdot{}(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a})}{\sqrt[3]{x}^2+\sqrt[3]{x}\cdot{}\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a}^2}\right|$
Nun weiter ...
Der Zähler vereinfacht sich "schön"
>
> Danke!
LG
schachuzipus
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