Epsilon-Delta Beweis < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] \lim_{x \to a}f(x) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow[/mm] [mm] \lim_{x \to a}\left( \bruch{1}{\left| f(x) \right|} \right) = \infty [/mm]
Beweise mit Hilfe des Epsilon-Delta Kriteriums |
Hallo,
wir nehmen an der Uni gerade die Epsilon-Delta Beweise für Grenzwerte durch und ich habe mit Mühe die Beweise für z.B. [mm] \lim_{x \to 2}x^2 = 4 [/mm] verstanden, habe aber leider nicht die leiseste Idee, wie ich die obige Aufgabe lösen kann. In der Schule haben wir immer gesagt, dass [mm] \bruch{1}{0} = \infty [/mm] ist und damit hatte sich das Problem erledigt. Wie kann ich diese Aufgabe beweisen?
Danke!
ringelnatter
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Mi 05.10.2011 | | Autor: | fred97 |
1. Zeigen sollst Du:
Zu jedem c>0 ex. ein [mm] \delta>0 [/mm] mit:
(*) $|x-a|< [mm] \delta$ \Rightarrow \bruch{1}{|f(x)|}>c.
[/mm]
2. Vorausgesetzt ist:
Zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ex. ein [mm] \delta>0 [/mm] mit:
$|x-a|< [mm] \delta$ \Rightarrow [/mm] $ |f(x)|< [mm] \varepsilon.$
[/mm]
So, nun gib mal ein c>0 vor. Wähle [mm] \varepsilon>0 [/mm] in Abhängigkeit von c geschickt, so dass Du aus 2. ein [mm] \delta [/mm] bekommst mit dem dann (*) gilt.
FRED
|
|
|
| |
|
Danke Fred für deine schnelle Antwort! Ich habe jetzt folgendes:
Aus [mm] \lim_{x \to a}f(x) = 0 [/mm] folgt:
Für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0 und für [mm] \epsilon = \left( \bruch{1}{c} \right) [/mm] exsistiert ein [mm] \delta [/mm] > 0 mit [mm] \left| x-a \right| < \delta \Rightarrow \left| f(x)-0 \right|< \epsilon [/mm]
[mm] \Rightarrow \left| f(x)-0 \right|< \left( \bruch{1}{c} \right) [/mm]
[mm] \Rightarrow \left| f(x) \right|< \left( \bruch{1}{c} \right) [/mm]
[mm] \Rightarrow \left( \bruch{1}{\left| f(x) \right|} \right) > c [/mm]
Jetzt fehlt mir irgendwie das delta, bzw. ist das überhaupt richtig, was ich bis jetzt gemacht habe?
Danke!
ringelnatter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Mi 05.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du bist auf dem richtigen Weg, solltest aber mit Der Behauptung anfangen:
$ [mm] \lim_{x \to a}\left( \bruch{1}{\left| f(x) \right|} \right) [/mm] = [mm] \infty [/mm] $
bedeutetet zu jedem c>0 gibt es [mm] |x|<\delta [/mm] so dass bruch{1}{| f(x) |} >c
die Vors. sagt zu jedem [mm] \epsilon=1/c [/mm] gibt es [mm] |x|<\delta [/mm] so dass |f(x)|<1/c daraus folgt, für [mm] x<\delta [/mm] 1/|f(x)|>c
schon fertig.
du musst nur in der richtigen Reihenfolge vorgehen
Gruss leduart
|
|
|
|
