Entfernung vom Nullpunkt < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Mo 17.01.2005 | | Autor: | raumzeit |
Und wieder einen guten Abend,
dieses mal kommt von mir eine Aufgabe bei der mir leider der Ansatz fehlt. Eine Vermutung habe ich aber. Hier die Aufgabe:
Welcher Punkt des Graphen von y = [mm] 2/x^2 [/mm] hat die kuerzeste Entfernung vom Nullpunkt ?
Meine Idee geht in folgende Richtung: Tangente ermitteln und zu dieser die Normale, die dann den Nullpunkt schneiden müßte ???
Raumzeit
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Mo 17.01.2005 | | Autor: | cologne |
> Meine Idee geht in folgende Richtung: Tangente ermitteln
> und zu dieser die Normale, die dann den Nullpunkt schneiden
> müßte ???
das wäre wohl eine andere aufgabe ... (diese aussage von mir ist falsch, der o.g. ansatz ist auch richtig)
ansatz: versuche mal zu überlegen, wie man den abstand zum nullpunkt berechnet und wie man daraus den kürzesten wert ermittelt ...
(posting korrigiert)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo
ja, das ist eine gute Idee!
Es ginge aber wahrscheinlich einfacher mit dem Tipp von cologne:
Mit Hilfe des Pythagoras den Abstand eines Kurvenpunktes berechnen. Der Abstand ist dann eine Funktion von x, und diese Funktion muss minimal sein. Idee: 1. Ableitung Null setzen.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Ferenius |
....hmmm, genauso hatte ichs auch gemacht...wie denn sonst?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Ferenius
ja, eben so, wie es sich raumzeit überlegt hat: durch den Grafen eine Normale Zeichnen, und die muss durch den Nullpunkt gehen!
Die Steigung der Kurve bei [mm] $x_0$ [/mm] ist ja:
[mm] $\bruch{-4}{x_0^3}$
[/mm]
Somit hat die Normale dazu die Steigung [mm] $\bruch{x_0^3}{4}$
[/mm]
Die Gerade durch [mm] $(x_0,\bruch{2}{x_0^2})$ [/mm] hat also die Gleichung
[mm] $y-\bruch{2}{x_0^2}=\bruch{x_0^3}{4}(x-x_0)$
[/mm]
Oder:
[mm] $y=\bruch{x_0^3}{4}x+\bruch{2}{x_0^2}-\bruch{x_0^4}{4}$
[/mm]
Damit das durch den Nullpunkt geht, muss gelten:
[mm] $\bruch{2}{x_0^2}-\bruch{x_0^4}{4}=0$
[/mm]
Wenn du das nach [mm] $x_0$ [/mm] auflöst, bekommst du das gleiche Ergebnis wie mit der anderen Methode. Meiner Meinung nach ist das sogar etwas einfacher. Es hat einfach den "Nachteil", dass hier mehr geometrische Ueberlegungen drin sind, bei der anderen Methode eher analytische Gedanken zum tragen kommen. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Ferenius |
guten abend allerseits, ich schreibe übermorgen prüfung und wollte mich mal kurz testen, wenn noch jemand die obige aufgabe errechnet hat, wärs schön, das ergebnis hier zu posten/mein ergebnis zu korrigieren
was ich raushab:
[mm] P1(\wurzel[2]{2}/\wurzel[2]{3})
[/mm]
[mm] P2(-\wurzel[2]{2}/\wurzel[2]{3})
[/mm]
gruß Wolf
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Hallo Wolf,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
es ist nichts dagegen einzuwenden, dass du dich hier in die Aufgabe hineinhängst.
Aber lies bitte mal unsere Forenregeln.
Im Moment ist hier so viel los, dass wir nur mit Lösungswegen deine Lösung schnell Korrektur lesen können.
> guten abend allerseits, ich schreibe übermorgen prüfung und
> wollte mich mal kurz testen, wenn noch jemand die obige
> aufgabe errechnet hat, wärs schön, das ergebnis hier zu
> posten/mein ergebnis zu korrigieren
> was ich raushab:
> [mm]P1(\wurzel[2]{2}/\wurzel[2]{3})[/mm]
> [mm]P2(-\wurzel[2]{2}/\wurzel[2]{3})[/mm]
> gruß Wolf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Ferenius |
...das geht klar, zwar lieber mit stift und papier, aber dann eben so:
wie schon oben beschrieben, nutze ich den Pythagoras aus, denn die Hypothenuse stellt hier den abstand zum KU dar, womit sich als funktion für den abstand folgende funktion erstellen lässt:
c= [mm] \wurzel[2]{ a^{2}+ b^{2}}
[/mm]
- da a und b die x und y- Werte sind(egal wierum) ist eingesetzt die Fkt.:
c(x)= [mm] \wurzel[2]{ x^{2}+ \bruch{2}{ x^{2}}^{2}}
[/mm]
die nullstellen(hier Minimalstellen) der ersten ableitung sind [mm] \wurzel{2} [/mm] und - [mm] \wurzel{2} [/mm] und der bei beiden zugehörige y-wert ist aufgrund der achsensymmetrie [mm] \wurzel{3}
[/mm]
gruß
Wolf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Ferenius
gegen deinen Lösungsweg ist nicht viel einzuwenden. die beiden x-Werte stimmen sogar mit meinen Berechnungen überein, aber der y-Wert! Wie hast du den denn berechnet??
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Ferenius |
hab wohl ne funktion falsch definiert, der wert müsste nach den neusten berechnungen 1 sein...
Wolf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Paulus |
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Mo 17.01.2005 | | Autor: | raumzeit |
Hallo,
könnte dann mal bitte jemand den Lösungsweg posten.
Raumzeit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Raumzeit
Ein Punkt auf dem Grafen hat ja die Koordinaten [mm] $(x,\bruch{2}{x^2})$.
[/mm]
Das Quadrat des Abstandes vom Nullpunkt ist somit (Pythagoras):
[mm] $d^2=x^2+\bruch{4}{x^4}$
[/mm]
Wenn d minimal sein soll, dann muss auch [mm] $d^2$ [/mm] minimal sein. Ich bilde also einfach die Ableitung der Funktion [mm] $d^2$ [/mm] und setze diese = Null:
[mm] $(d^2(x))'=2x-\bruch{16}{x^5}$
[/mm]
Also:
[mm] $2x-\bruch{16}{x^5}=0$
[/mm]
[mm] $2x^6=16$
[/mm]
[mm] $x^6=8$
[/mm]
[mm] $x^6=2^3$
[/mm]
[mm] $x^2=2$
[/mm]
[mm] $x=\pm\wurzel{2}$
[/mm]
[mm] $\bruch{2}{(\pm\wurzel{2})^2}=1$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 Mo 17.01.2005 | | Autor: | raumzeit |
Hallo,
ich habe mir die Kutve mal im Potter angeguckt. der Wert 1,414 kann nicht stimmen. Ein Punkt mit einem X wert um die 0.75 wäre dem Nullpunkt am nächsten, also ca. die Hälfte von [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
Außerdem gibt es glaube ich noch die Möglichkeit hier mit Polarkoordinaten zu rechnen. Man müßte die FKt entspr. umstellen, erste Abl. 0 setzen und Minimum ausrechnen. Ich habe in diese Richtung mal gerechnet, leider schaffe ich es nicht die erste Abl nach x umzustellen. Ich habe hier nämlich einmal den sin und den cos um quadrat drin.
raumzeit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:10 Di 18.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Raumzeit
dann würde ich mal ein vernünftiges Plot-Programm anschaffen!
Siehe meinen Plot:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mit lieben Grüssen
Paul
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:48 Di 18.01.2005 | | Autor: | raumzeit |
ok, hatte den falschen Maßstab eingestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 Mo 17.01.2005 | | Autor: | cologne |
also, dein ansatz war richtig, ich hatte mich wohl zu sehr von der 'analytischen' lösung leiten lassen, aber es gibt zwei wege. (siehe posting von paulus) - sorry
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