Entfernung P zu Teilgeraden < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:38 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Cyjackz |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.uni-protokolle.de
Hallo,
ich habe ein Problem und hoffe jemand von euch kann mir helfen:
In einem 2D-Koordinatensystem habe ich eine Gerade zwischen Punkt P und Punkt X.
Nun möchte ich wissen, wie weit Punkt Q von dieser Gerade entfernt ist, jedoch nur von dem Teil der Gerade zwischen P und X.
Mit d = [mm] (|(\vec{q}-\vec{p}) [/mm] x [mm] (\vec{x}-\vec{p})|) [/mm] / [mm] |(\vec{x}-\vec{p})| [/mm] habe ich schon die Enfernung zur Geraden, auf der P und X liegen. Nun weiss ich jedoch nicht, wie ich das für das Teilstück NUR ZWISCHEN P und X herausbekommen kann...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielen Dank im Voraus!
Cyjackz
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:52 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Cyjackz,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Eine Idee wäre den Lotfußpunkt $Q'_$ von $Q_$ auf der Geraden zu ermitteln und zu überprüfen, ob dieser innerhalb der betrachteten Strecke [mm] $\overline{PX}$ [/mm] liegt.
Dabei erhielte man gleich, auf welcher Seite der Strecke der Lotfußpunkt läge (falls $Q'_$ nicht innerhalb der Strecke).
Dafür wäre zunächst die Geradengleichung von $Q_$ und senkrecht auf die Gerade $PX_$ zu ermitteln.
Gruß
Loddar
PS: Da dies evtl. noch etwas eleganter (und einfacher) zu lösen ist, lasse ich die Frage mal auf "teilweise (un)beantwortet".
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:41 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Cyjackz |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Da ich nur ein Informatiker bin, habe ich darüber nicht allzuviel Kenntnise. Könntest du mir noch einen Algorithmus nennen, mit dem ich den Lotfußpunkt berechnen kann?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:59 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Cyjackz!
Richtungsvektor [mm] $\vec{r}$ [/mm] der neuen Geraden steht senkrecht auf Richtungsvektor der Geraden $PX_$ :
[mm] $\vec{r}*\overrightarrow{PX} [/mm] \ = \ 0$
Gerade $QQ' \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ =\ [mm] \overrightarrow{OQ}+\kappa*\vec{r}$
[/mm]
Schnittpunkt der Geraden $PX_$ und $QQ'_$ ergibt den Lotfußpunkt $Q'_$
Hilft Dir das weiter?
Im [mm] $\IR^2$ [/mm] (also in der x/y-Ebene) gibt es bestimmt noch einige Vereinfachungen hierfür. Aber dafür ist es mir jetzt zu spät/früh ...)
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Cyjackz,
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: http://www.uni-protokolle.de
>
> Hallo,
>
> ich habe ein Problem und hoffe jemand von euch kann mir
> helfen:
>
> In einem 2D-Koordinatensystem habe ich eine Gerade zwischen
> Punkt P und Punkt X.
> Nun möchte ich wissen, wie weit Punkt Q von dieser Gerade
> entfernt ist, jedoch nur von dem Teil der Gerade zwischen P
> und X.
Du suchst die kürzeste Entfernung von Q zu einem Punkt der Strecke [mm] \overline{PX}.
[/mm]
Das folgende ist natürlich absoluter Quatsch.
Die einzige Alternative, die ich sehe, ist allgemein die Entfernung von Q zu einem Punkt der Strecke anzusetzen und dann das Minimum zu berechnen. Aber eleganter als Loddars Vorschlag ist das nicht.
Das ist die Länge der Lotstrecke von Q zur Gerade PX oder die Entfernung von Q zu P oder von Q zu X. Also brauchst du den Abstand von Q zur Geraden PX (den hast du ja berechnet) nur mit den Entfernungen von Q zu P und von Q zu X zu vergleichen. Aus den Ergebnissen kannst du auch sehen, auf welchen Teilstück der Geraden PX der Fußpunkt des Lotes von Q auf PX liegt.
Gruß
Sigrid.
>
> Mit d = [mm](|(\vec{q}-\vec{p})[/mm] x [mm](\vec{x}-\vec{p})|)[/mm] /
> [mm]|(\vec{x}-\vec{p})|[/mm] habe ich schon die Enfernung zur
> Geraden, auf der P und X liegen. Nun weiss ich jedoch
> nicht, wie ich das für das Teilstück NUR ZWISCHEN P und X
> herausbekommen kann...
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
> Cyjackz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Sa 31.12.2005 | | Autor: | dominik |
Meiner Meinung nach genügen die Längen der Strecken QP, QX und QQ' (Fusspunkt auf der Geraden) nicht. Man muss doch noch entscheiden, ob der Fusspunkt Q' von Q innerhalb der Strecke PX liegt oder nicht.
Das Vorgehen sieht meines Erachtens wie folgt aus:
1. Lot von Q auf die Gerade (PX) ergibt Q', wie bereits erwähnt
$2. [mm] \; \overrightarrow{PQ'}=k* \overrightarrow{PX} \;oder \; \overrightarrow{QX'}=k* \overrightarrow{PX}$
[/mm]
$3. [mm] \; [/mm] 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] Abstand = [mm] \overline{Q'Q}\;weil \; [/mm] Q' [mm] \in [/mm] PX $
$4. [mm] \; [/mm] k > 1 [mm] \vee [/mm] k<0 [mm] \Rightarrow [/mm] Abstand = [mm] \overline [/mm] {Q'P} [mm] \; [/mm] oder [mm] \; [/mm] Abstand = [mm] \overline [/mm] {Q'X} [mm] \;weil \, [/mm] Q' [mm] \not \in [/mm] PX$
Viele Grüsse und es guets Neus!
dominik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:51 Di 03.01.2006 | | Autor: | Cyjackz |
Vielen Danke! Ich habs hinbekommen ;)
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