Endungen der Teiler < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 So 06.01.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | | Man beweise: Bei jeder positiven ganzen Zahl ist die Anzahl der Teiler, deren Dezimaldarstellung auf 1 oder 9 endet, nicht kleiner als die Anzahl der Teiler, deren Dezimaldarstellung auf 3 oder 7 endet. |
Hallo,
ich weiß nicht, wie ich an so eine Aufgabe herangehe! Induktion ? Wird wohl schwierig. Ein Widerspruchsbeweis bietet sich durch die Art der Aufgabenstellung an, aber mit welchen Argumenten?
Das einzige, was die MEngen charakterisiert, ist doch der Rest mod 10.
Also ist doch z.z.: [mm] $\left| \lbrace d | n , ~d \equiv 1 \vee d \equiv 9 ~(mod~10) \rbrace \rlight|~\geq ~\left|\lbrace d' |n , ~d' \equiv 3 \vee d'\equiv 7~(mod~10)\rbrace\right|$
Aber wie gehe ich daran, die Mengen sind doch disjunkt, oder?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Di 08.01.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Man beweise: Bei jeder positiven ganzen Zahl ist die Anzahl
> der Teiler, deren Dezimaldarstellung auf 1 oder 9 endet,
> nicht kleiner als die Anzahl der Teiler, deren
> Dezimaldarstellung auf 3 oder 7 endet.
> ich weiß nicht, wie ich an so eine Aufgabe herangehe!
> Induktion ? Wird wohl schwierig. Ein Widerspruchsbeweis
> bietet sich durch die Art der Aufgabenstellung an, aber mit
> welchen Argumenten?
Wenn n die Zahl ist, die wir untersuchen, dann zerlegen wir sie in n = [mm] 2^{r}*5^{s}*n' [/mm] so, daß n' zu 10 teilerfremd ist. Da wir genau die Teiler untersuchen, die zu 10 teilerfremd sind, können wir statt n auch n' untersuchen, also annehmen, daß n selbst zu 10 teilerfremd ist, also auf 1, 3, 7 oder 9 endet.
Wenn d ein Teiler ist, ist d' = n/d ebenfalls ein Teiler. Die Abb. d [mm] \mapsto [/mm] d' ist bijektiv. Wie bildet sie die verschiedenen Teiler ab, wenn a) n auf 3 oder 7 endet und wenn b) n auf 1 oder 9 endet?
Bei b) ist glaubich noch etwas sorgfältige Argumentation erforderlich.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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