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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Mi 27.11.2013 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Es sei n [mm] \in [/mm] IN eine Zahl, die zu einer Basis b dargestellt ist.
n= [mm] a_{k-1}b^{k-1}+...+a_0b^0
[/mm]
Dann gilt für jeden Teiler t von b: t teilt n [mm] \gdw [/mm] t teilt [mm] a_0.
[/mm]
Gesucht ist der Beweis für die Aussage. |
Hallo:
Also ich habe einen Beweis dazu im Buch stehen, verstehe ich aber leider nicht ganz:
Es gilt: [mm] n-a_0=a_{k-1}b^{k-1}+...+a_1b^1
[/mm]
Da t ein Teiler von b ist, teilt t auch [mm] n-a_0. [/mm] Es folgt die Behauptung.
1. Könnt ihr mir etwas ausführlicher erklären, warum das so ist?
2. Warum folgt daraus schon die gesamte Äquivalenz?
Danke im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei n [mm]\in[/mm] IN eine Zahl, die zu einer Basis b dargestellt
> ist.
> n= [mm]a_{k-1}b^{k-1}+...+a_0b^0[/mm]
> Dann gilt für jeden Teiler t von b: t teilt n [mm]\gdw[/mm] t
> teilt [mm]a_0.[/mm]
> Gesucht ist der Beweis für die Aussage.
> Hallo:
>
> Also ich habe einen Beweis dazu im Buch stehen, verstehe
> ich aber leider nicht ganz:
>
> Es gilt: [mm]n-a_0=a_{k-1}b^{k-1}+...+a_1b^1[/mm]
> Da t ein Teiler von b ist, teilt t auch [mm]n-a_0.[/mm] Es folgt
> die Behauptung.
>
> 1. Könnt ihr mir etwas ausführlicher erklären, warum das
> so ist?
es wird Dich sicher ärgern:
[mm] $n-a_0=b*(a_1+a_2b+...+a_{k-1}b^{k-2})$
[/mm]
Der geklammerte Ausdruck rechts ist ja eine natürliche Zahl! Also wird die
rechte Seite von [mm] $b\,$ [/mm] geteilt und damit teilt [mm] $b\,$ [/mm] auch die linke Seite (da
rechte Seite=linke Seite).
> 2. Warum folgt daraus schon die gesamte Äquivalenz?
Naja, Du siehst doch jetzt: [mm] $b\,$ [/mm] teilt immer [mm] $(n-a_0)\,,$ [/mm] und wegen [mm] $t|b\,$ [/mm] folgt
dann auch, dass immer [mm] $t|(n-a_0)$ [/mm] gilt (wie gesagt, unter der Voraussetzung,
dass [mm] $t\,$ [/mm] ein Teiler von [mm] $b\,$ [/mm] ist!)
Die Aussage war: [mm] $t\,$ [/mm] teilt $n$ [mm] $\iff$ $t\,$ [/mm] teilt [mm] $a_0\,.$
[/mm]
Zu [mm] "$\Longrightarrow$":
[/mm]
Es gelte [mm] $t|n\,,$ [/mm] also [mm] $n=k*t\,$ [/mm] mit einem $k [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Dann gilt
[mm] $(n-a_0)/t=n/t-a_0/t=k-a_0/t\,.$
[/mm]
Da [mm] $t|(n-a_0)\,,$ [/mm] ist aber [mm] $\tfrac{n-a_0}{t} \in \IN\,.$ [/mm] Also muss auch [mm] $\tfrac{a_0}{t} \in \IN$ [/mm] sein. Das bedeutet
aber nichts anderes als: ...?
Zu [mm] "$\Longleftarrow$":
[/mm]
Es gelte [mm] $t|a_0\,,$...
[/mm]
(Überlege Dir das, es sind die gleichen Argumente mit kleinen Rollentauschs!)
P.S. Beachte bitte, dass $p/q$ den Bruch [mm] $\frac{p}{q}$ [/mm] meint, während [mm] $p|q\,$ [/mm] für [mm] "$p\,$ [/mm] ist ein Teiler
von [mm] $q\,$" [/mm] bedeutet. Ich hätte vielleicht hier Brüche doch nicht mit / darstellen sollen...
Gruß,
Marcel
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