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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Sei V ein K- Vektorraum und sei p ein Endomorphismus auf V mit [mm] p^{2} [/mm] = p.
a:
Bestimmen Sie alle möglichen Eigenwerte von p!
b:
Zeigen Sie, dass p diagonalisierbar ist! |
Hi an Alle,
Wollte mal fragen ob mir hierbei jemand helfen könnte?
Also p (eigentlich pi, steht so da) ist doch Permutation, oder nicht?
Eine Permutation lässt sich darstellen als Prudukt aus Transpositionen
also
p = [mm] t_1 [/mm] * [mm] t_2 [/mm] * ... * [mm] t_n
[/mm]
also sind doch die Eigenwerte gleich dem Signum und das ist [mm] (-1)^{n}, [/mm] oder nicht?
Da nun aber [mm] p^2 [/mm] = p muss doch Determinate 1 sein so wie bei der Identität.
Oder habe ich da etwas vollkommen missverstanden?
wie zeige ich bei so etwas die Diagonalisierbarkeit?
Vielen Dank im Voraus!
Gruß
Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Fr 09.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei V ein K- Vektorraum und sei p ein Endomorphismus auf V
> mit [mm]p^{2}[/mm] = p.
> a:
>
> Bestimmen Sie alle möglichen Eigenwerte von p!
>
> b:
>
> Zeigen Sie, dass p diagonalisierbar ist!
> Hi an Alle,
> Wollte mal fragen ob mir hierbei jemand helfen könnte?
>
> Also p (eigentlich pi, steht so da) ist doch Permutation,
> oder nicht?
> Eine Permutation lässt sich darstellen als Prudukt aus
> Transpositionen
> also
> p = [mm]t_1[/mm] * [mm]t_2[/mm] * ... * [mm]t_n[/mm]
> also sind doch die Eigenwerte gleich dem Signum und das
> ist [mm](-1)^{n},[/mm] oder nicht?
> Da nun aber [mm]p^2[/mm] = p muss doch Determinate 1 sein so wie
> bei der Identität.
> Oder habe ich da etwas vollkommen missverstanden?
Ja , vollkommen ! p ist eine lineare Abbildung von V in V mit $p [mm] \circ [/mm] p=p$
Zu a): mach den Ansatz $p(x) = [mm] \lambda [/mm] x$ . Berechne damit [mm] p^2(x), [/mm] beachte, dass [mm] $p(x)=p^2(x)$ [/mm] und schau was Du für [mm] \lambda [/mm] erhälst
Zu b): Zeige: $V= kern(p) [mm] \oplus [/mm] kern(I-p)$ und benutze a)
FRED
>
> wie zeige ich bei so etwas die Diagonalisierbarkeit?
>
> Vielen Dank im Voraus!
> Gruß
> Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Ultio |
Dankeschön, ich glaube das bringt mich weiter, stelle das dann nochmal hoch.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 So 11.04.2010 | | Autor: | Ultio |
Hi, habe mir mal ein paar gedanken dazu gemacht, komme aber gerade nicht so richtig weiter, könnte mir einer von euch bitte nochmal helfen.
[mm] p^2 [/mm] (x) = p (x)
p (x) = [mm] \lambda [/mm] x
[mm] p^2 [/mm] (x) = [mm] \lambda [/mm] ^2 [mm] x^2
[/mm]
-->
[mm] \lambda [/mm] ^2 [mm] x^2 [/mm] = [mm] \lambda [/mm] x
[mm] \lambda [/mm] x = 1
und bei b:
Also der Kern von p sind alle vektoren die auf null abgebildet werden, das heißt P(x) = 0 und [mm] p^2(x) [/mm] = 0
direkte Summe ist mir auch ein Begriff aber wie erhalte ich den Kern von (I - p)?
Danke euch.
Felix
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> [mm]p^2[/mm] (x) = p (x)
> p (x) = [mm]\lambda[/mm] x
> [mm]p^2[/mm] (x) = [mm]\lambda[/mm] ^2 [mm]x^2[/mm]
Hallo,
ogottogott...
Weiß Du, was [mm] p^2 [/mm] bedeutet? Bedenke: p ist eine Abbildung...
Wie ist [mm] p^2(x) [/mm] definiert? (Stichwort: Verkettung von Funktionen)
Und hast Du Dir mal Gedanken darüber gemacht, was [mm] x^2 [/mm] überhaupt darstellen soll? Sonderlich sinnvoll ist das nicht...
> -->
> [mm]\lambda[/mm] ^2 [mm]x^2[/mm] = [mm]\lambda[/mm] x
> [mm]\lambda[/mm] x = 1
Hier zieht's einem endgültig die Schuhe aus: Du dividierst durch [mm] \lambda [/mm] x, also durch einen Vektor?
Und Dein Ergebnis lautet, daß der Vektor [mm] \lambda [/mm] x gleich der Zahl 1 ist?
Versteh' mich nicht falsch: ich bin nicht ganz so geschockt, wie ich tue. Du bist nicht der Erste, der sowas macht...
Wichtig ist, daß Du erkennst, daß Du selbst mit mageren Kenntnissen bei halbwegs kritischer Betrachtung Deiner Ergebnisse merken kannst, daß der Wurm drin ist.
Wenn Du Dir jetzt in Ruhe klarmachst, was [mm] p^2 [/mm] bedeuet, dann wird Dir die Lösung der Aufgabe gelingen.
Also: tief Luft holen und neu beginnen....
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 So 11.04.2010 | | Autor: | Ultio |
Also danke dir,
ich überlege nochmal, dann werde ich's nochmal versuchen.
erst p dann p auf x anwenden, p [mm] \circ [/mm] p ist auf jedenfall die Abbildung.
Bis später.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 So 11.04.2010 | | Autor: | Ultio |
Hi, klar dass das Blödsinn war.
Aber geht es doch in die richtige Richtung, oder?
zu a:
p [mm] \circ [/mm] p = p --> p( p(x) ) = p(x) ----- p(x) = [mm] \lambda [/mm] x -----> p(p(x)) = [mm] p(\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda (\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda [/mm] ^{2} x
nun ist aber auch p(x) = [mm] \lambda [/mm] x
also auch
[mm] \lambda [/mm] ^{2} x = [mm] \lambda [/mm] x
--> 0 = [mm] \lambda (\lambda [/mm] x - x)
--> [mm] \lambda_{1} [/mm] = 0
und dann gilt
[mm] \lambda [/mm] x - x = 0
--> entweder [mm] \lambda [/mm] x = x oder [mm] \lambda [/mm] - 1 = x,
aber egal wie man es nimmt
--> [mm] \lambda_{2} [/mm] = 1
soweit zu a.
Aber b bereitet mir ein wenig schwierigkeiten...
Danke für die Hilfe.
Felix
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Hallo!
> Hi, klar dass das Blödsinn war.
> Aber geht es doch in die richtige Richtung, oder?
>
> zu a:
> p [mm]\circ[/mm] p = p --> p( p(x) ) = p(x) ----- p(x) =
> [mm]\lambda[/mm] x -----> p(p(x)) = [mm]p(\lambda[/mm] x) = [mm]\lambda (\lambda[/mm]
> x) = [mm]\lambda[/mm] ^{2} x
> nun ist aber auch p(x) = [mm]\lambda[/mm] x
> also auch
> [mm]\lambda[/mm] ^{2} x = [mm]\lambda[/mm] x
Bis hierher sehr schön!
Ab dann nicht mehr so schön, weil am Ende wieder eine Gleichung der Form "Zahl = Vektor" bei dir stand!
Besser:
[mm] $\lambda^{2}*x [/mm] = [mm] \lambda*x$
[/mm]
[mm] $\gdw \lambda^{2}*x-\lambda*x [/mm] = 0$
[mm] $\gdw \lambda*(\lambda-1)*x [/mm] = $
Da $x = 0$ nicht möglich ist, kommen somit nur [mm] $\lambda [/mm] = 0$ und [mm] $\lambda [/mm] = 1$ als Eigenwerte in Frage.
> soweit zu a.
>
> Aber b bereitet mir ein wenig schwierigkeiten...
Du hast zu zeigen, dass p diagonalisierbar ist.
Ein Pauschalbeweis fällt mir nicht ein, hier aber eine Anleitung zu einem möglichen Beweis:
1. Zeige, dass die Eigenräume zu den Eigenwerten folgende sind:
Zum Eigenwert 0 ist der Eigenraum Kern(p),
zum Eigenwert 1 ist der Eigenraum Bild(p).
2. Bei einem Projektor gilt [mm] $Kern(p)\oplus [/mm] Bild(p) = V$
3. Die Identität von 2. ist Futter für ein Diagonalisierbarkeitskriterium.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 So 11.04.2010 | | Autor: | Ultio |
Danke dir!!!
Gruß
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